平行线角的关系指的是在平行线中，两条平行线与第三条直线相交所得的角之间的关系。
我们知道平行线的定义是两条直线在同一平面上，不相交也不平行。而在平行线中，如果两条直线与第三条直线相交，则所得的角之间有一些特定的关系。
其中最基本的是“内错角相等”和“同位角相等”。内错角指的是在平行线中，位于第三条直线的两侧的角，这两个角的大小相等。同位角则是在平行线中，位于第三条直线的同一位置的角，这两个角的大小也相等。
还有“对顶角相等”、“邻补角互补”等角的关系。对顶角指的是两个角有一个共同的顶点，且它们的边分别在另一条直线上。邻补角则是两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线。
平行线角的关系在几何学中有着广泛的应用：
1、证明平行四边形的性质
在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O。利用平行线角的关系，我们可以证明平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质。例如，在三角形ABC中，因为AB//CD，所以内错角ABC和内错角ACD相等，从而可以证明三角形ABC和三角形DCB全等，得到AB=CD。
2、证明三角形全等的角边角定理
在三角形ABC和三角形DEF中，已知角A=角D，边BC=边EF，利用平行线角的关系可以证明这两个三角形全等。具体地，在BC上任取一点G，分别过点G作AB、DE的平行线，得到两个平行四边形ABFG和DECG。由于AB//GF、DE//CG，所以内错角ABC=角FGB、角CDE=角EGB。又因为角A=角D，所以角FGB=角EGB，从而可以证明三角形ABC和三角形DEF全等。
3、证明三角形内角和定理
在任意三角形ABC中，利用平行线角的关系可以证明三角形的内角和等于180度。具体地，在BC上任取一点D，分别过点D作AB、AC的平行线EF、GH，得到两个平行四边形ABDF和ACHD。由于AB//FD、AC//DH，所以内错角ABC=角BFD、内错角ACB=角HDC。又因为角A=角D，所以角BFD+角HDC+角A=180度，即三角形的内角和等于180度。