已知△ABC中，∠A=60°，H为垂心，O为外心，I是内心．求证：（1）AO=AH；（2）B、O、I、H、C五点共圆

Question

已知△ABC中，∠A=60°，H为垂心，O为外心，I是内心．求证：（1）AO=AH；（2）B、O、I、H、C五点共圆．

Answer 1

解答：证明：（1）因为O是外心，CE⊥BC，又H是垂心．
故AH⊥BC，从而AH∥CE．同理CH∥AE．
于是AHCE为平行四边形，AH=CE．
又∠BEC=∠A=60°，从而∠EBC=∠30°．
所以EC=

1

2

BE=OA，
故AH=CE=OA．

（2）作O关于BC的对称点O′，连接BO、BI、BH、BO′、CO、CI、CH、CO′，
由三角形外心、内心、垂心的张角公式可知，
∠BOC=2∠A=120°，
∠BIC=90°+

1

2

∠A=120°，∠BHC=180°-∠A=120°，
则B、C、H、I、O五点共圆．