特征方程具体在递推数列解题里怎么应用？

Question

1.怎么根据递推数列列特征方程？2.解出来特征根之后又怎么带回递推数列？然后怎么求通项？ 听说特征方程是大学内容、看那些解法又看不懂是怎么列出来的、麻烦说明白点、我才高一、最好举点例子、

Answer 1

特征方程分为一阶，二阶（高中能用的）更高阶的高中用不了。在数列an中，若已知a1,且an=pa(n-1)+q,p.q是常数，则称方程x=px+q为数列的一阶特征方程，其根x=q/(1-p)称为数列的特征根。此时数列的通项公式为am=(a1-x)p^(n-1) +x一阶特征方程比较简单，但是二阶特征方程很难。在数列an中，若a1,a2已知，且an=b1a(n-1)+b2a(n-2)，b1,b2是常数，则称方程x^2=b1x+b2为该数列的二阶特征方程，设其根为x1,x2当x1=x2时，an=[a1+(n-1)d]x1^(n-1)当x1≠x2时，an=c1x1^n+c2x2^n其中c1,c2,d都是由a1,a2代入联立方程组解得证明比较冗长，尤其是二阶的，严格证明没有一整页纸写不完。而且要看懂就更难了（那毕竟是大学的东西，老实说我现在高三看这个都很吃力）我觉得与其花大精力去看证明还不如多练几个题熟悉应用，故此略去证明。下面讲应用：一阶方程是解决递推公式形如an=pa(n-1)+q的简便方法。你只要解个一元一次方程x=px+q，把解代入am=(a1-x)p^(n-1) +x就可以了比如已知an=2a(n-1)+1,a1=1求an解方程x=2x+1,得x=-1代入am=(a1-x)p^(n-1) +x 得an=2×2^(n-1) -1=2^n -1二阶特征方程是解递推公式形如an=b1a(n-1)+b2a(n-2)的数列，它需要解一个一元二次方程，再把解x1,x2代入（当x1=x2时）an=[a1+(n-1)d]x1^(n-1)或（当x1≠x2时）an=c1x1^n+c2x2^n例：求斐波那契数列的通项公式。(a1=a2=1,an=a(n-1) =a(n-2))解：解方程x^2=x+1得x1=(根号5+1)/2,x2=(根号5-1)/2x1≠x2为叙述简便，现做特殊说明，(根号5-1)/2是著名的黄金分割比，用符号e表示因此x1=1+e,x2+e代入通项公式an=c1x1^n+c2x2^n∵a1=1,a2=1∴a1=c1(1+e)^1+c2e^1=1 a2=c1(1+e)^2+c2e^2=1∴解得c1=-根号5/5 c2=根号5/5∴an=根号5/5 [(1+e)^n-e*n] 注意：特征根法最好作为解选择题和填空题的方法，解答题最好不要用，如果解答题不先引证特征方程的话，是很可能扣分的。还有就这几年的命题趋势而言，数列部分难度总体有所下降。楼主可以不必要太担心数列。

Answer 2

递推式：
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
（n∈N*，p,q为常数）

1）待定系数法
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
可转化为等比数列：
a(n+2)-α*a(n+1)=β*(a(n+1)-α*an)
和
a(n+2)-β*a(n+1)=α*(a(n+1)-β*an)

其中α+β=A
α*β=-B

2）特征根法

a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
其特征方程为x^2-p*x-q=0

i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β

则an=A*α^n+B*β^n

其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

ii.若其有两个相等的根α

则an=(A*n+B)*α^n

其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

最终可得：

当{an}有两个不等的特征根为根α,β时

由
a(n+2)-α*a(n+1)=β^(n-1)*(a2-α*a1)
a(n+2)-β*a(n+1)=α^(n-1)*(a2-β*a1)

得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)

或由
A*α+B*β=a1
A*α^2+B*β^2=a2

可得
A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)
B=(a2-β*a1)/(β^2-α*β)

得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)+((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)

当特征根为重根α时

由
an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α*a(n-1)-α^2*a(n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
…
α^(n-2)*a2-α^(n-1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)

an-α^(n-1)*a1=(n-1)*α^(n-2)*(a2-α*a1)

得
an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)

或由
(A+B)*α=a1
(2*A+B)*α^2=a2

可得
A=(a2-a1*α)/(α^2)
A=(2*a1*α-a2)/(α^2)

得
((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)

由于
α+β=A
α*β=-B

由韦达定理，可构造一元二次方程
x^2-p*x-q=0

此即为二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵方程

特殊的，当二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵根为重根α=1时
即p=2，q=-1

a(n+2)=2*a(n+1)-an

此时，二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=2*a(n+1)-an
为等差数列

以上为证明过程，其内在的道理需要通晓一些线性代数和组合数学的知识，这里不宜多谈