请用高中知识回答：1.什么是特征方程？2.特征方程可应用于哪些范围？多谢！

Question

如题所述

Answer 1

特征方程式.　　一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2X(n)
　　设r，s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn]
　　所以X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn
　　C1=s+r
　　C2=-sr
　　消去s就导出特征方程式 r^2-C1*r-C2=0以线性递推数列通项求法为例，这里说明特征方程的应用。
　　关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：
　　对于数列a[1]=a，a[n+1]=ca[n]+d，
　　设a[n+1]+t=c(a[n]+t)....①，
　　化简得a[n+1]=ca[n]+(c-1)t，与原递推式比较，得d=(c-1)t，
　　将解得的t代入①即得等比数列{a[n]+t}，用等比数列通项即可得出原数列{a[n]}。
　　对于二阶线性递推数列，可采用特征方程法：
　　对于数列a[n]，递推公式为a[n+1]=pa[n]+qa[n-1]，其特征方程为x^2=px+q 即x^2-px-q=0，
　　1、 若方程有两相异根α,β，则a[n]=c1·α^[n-1]+c2·β^[n-1]；··
　　2、 若方程有两等根α=β，则a[n]=(c1+nc2)·α^[n-1]，
　　其中 c1,c2 可由初始条件确定，初始条件通常为a[1]与a[2]。
　　对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个a[k]换成x，就是它的特征方程。解出所有根后，进一步应用时还应注意重根的问题；其中当所有根x=x0均相等时，以k阶为例，a[n]=[c1+c2(n-1)+c3(n-1)^2+……+cn(n-1)^(k-1)]·x0^(n-1)。
　　最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。