第1个回答 2009-01-01
额 曲线的确应该是连续的 那就没必要说那些函数了，又得回到最开始的问题了，如果按照那篇论文所说的定义，sin(1/x)的确没有渐近线。这个定义已经把“渐进”数学化了一定的程度，它是把“无限接近”理解为你所说的那种。但对于“无限接近”应该能这样理解：“无限”是指曲线无限的伸长。按照“无限伸长”这种理解，一般定义的有渐近线的曲线，的确是属于“无限伸长的”，同时也排除了那些类似单纯在0点无定义的曲线（它们显然不能无限的伸长，虽然这个趋于0的过程是无限的，但曲线的长度是有限的）。我认为“无限伸长”这样的理解更为合理，它包含了类似sin(1/x)这类的曲线（它们在趋向于0的时候是上下摆动的，可以无限的伸长）。直观地来看，它们都是在无限地伸长，越来越靠近那条直线，但永远不会相交。您认为这种理解是否合理？ 还有，对于X无限趋近于0，其实并不合最初的“无限接近”相符，例如Y=2，从坐标的角度来看，它趋于0的过程是无限的，但从曲线本身来看，显然是个有限的过程。是人们用坐标人为地把一个有限的过程无限化了，就像著明的“阿基里斯与乌龟赛跑一样”把有限的时间人为的无限化了。所以这类曲线并不是无限接近。 我认为论文中的定义并不十分合理。我认为把“渐近线”理解为“无限伸长”应该是合理的，因为它也符合直观的理解，同时排除了那些类似Y=2一类的曲线，而论文中的定义却不能涵盖像“sin(1/x)”这样的曲线(它不违背直观上的理解，又符合“无限伸长”）。 我想应该给出一个更为合理的渐近线的数学定义，例如我这种“无限伸长”，如果按照这种“无限伸长”的定义，如何用数学表达式来描述类似sin(1/x)的渐近线？（是不是“f(x)在某个有限点处的单侧极限不存在”这样的描述就是准确的了？再加上原来的几个表达式，这些是否就涵盖所有符合”无限伸长”的曲线，并且排除了所有不符合“无限伸长”的曲线？如果不是，能不能找出更准确的描述？ 这是最后一个问题了（在我的这个定义下，如何用数学表达式准确描述sin(1/x)的渐近线） 多谢一楼的几次回答 让我在思考过程中有了更深的认识 如果能完全给出准确的表达式的话我再追加50分 我下午不在 晚上会来处理最后的结果
第2个回答 2009-01-01
当曲线上的点遍历曲线趋近于渐近线时，这一过程应该是直接的（不曲折的）
在定义中提到“无限远离原点”，“垂直渐近线（x->x0）函数值趋向无穷”就约束也说明了“渐进”的涵义吧
按你的理解，那任何连续函数(除原点无定义)，有定义域（-a，0）U（0，a），不是都有渐进线Y轴了吗
首先，我并没有说过没定义表示没极限，函数在零点无定义的话，该处哪里来的交点。我是否可以认为此类函数在零点是无限趋近于Y轴（而不是相交）呢 那这是不是渐近线呢
我明白楼主的意思，希望能对你说的情况有个数学定义；而我的意思是你说的情况不能归类为渐近线（数学意义上的，而不是口头说渐近线就是无限接近的线）。因此我才说可能是对“渐进”的理解有所不同。如果你认为没必要讨论这个，那我揣测你的意思是想对现有已数学定义的“渐近线”的内容做一下扩充？
还应有振荡趋近的情况？