高中数列问题

Question

讨论数列{an}且an=3n+1分之2n-1的单调性,设函数f(x)=log2 x-logx 2(0<x<1)且f(2的an次方)=2n 1求{an}的通项公式 2 讨论{an}的单调性
题中log2和logx分别是2为底和x为底~
请给出详细解答或详细思路

Answer 1

由数列递推公式求通项

李丽 孟震宇

数列的通项有时是由递推公式给出的，如何由数列的递推公式求通项呢？同学们熟悉的是等差数列和等比数列，所以首先要看从已知的递推公式经过转化是否可以化为等差数列或等比数列。对于不能转化为等差数列或等比数列形式的题目，则要细心分析，寻找规律以正确求解。

1. 可转化为等差数列

（1）倒数法

例1. 已知数列，，，求

解：由两边取倒数，得

故数列是首项为，公差为1的等差数列

所以

所以

注：形如的递推公式适合此法。

（2）配方法

例2. 数列中，，，则（ ）

A. B. 2500 C. D. 2401

（第十届99年“希望杯”高二）

解：由递推公式，得

即

故是首项为1，公差为的等差数列，从而有，则

选B

（3）构造法

例3. 数列中，，（），若，求其通项公式。

解：设，则且

故是首项为1，公差为1的等差数列，即

所以，又，所以

2. 可转化为等比数列

（1）迭加法

例4. 已知数列满足，

（1）求

（2）证时

（03年全国文科高考）

解：（1）易求得，

（2）由已知，得（）

…

将个式子迭加，得

所以

注：形如的递推公式适合此法。

例5. 数列中，，，且，求通项

解：由已知，得

所以数列是以2为公比的等比数列

其首项为

所以

即，，……

把这个等式迭加，得

所以

注：形如型的递推公式适合此方法。

（2）参数法

例6. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6％，并且每年新增汽车数量均为x万辆，求n年后汽车的保有量。

解：从2001年起，该市每年末汽车保有量依次记为（单位：万辆），则可以得到数列，依题意

当时， （1）

引入参数p

设

即 （2）

与（1）式比较，得，故

则数列是首项为，公比为0.94的等比数列

所以

即

注：形如的递推公式适合此方法。

3. 其它

（1）迭乘法

例7. 设是首项为1的正项数列，且（），求

（03年全国高考）

解：原式可分解为

因为，所以

即

所以，

将个式子迭乘，得

因为，所以

注：形如的递推公式适合此方法。

（2）周期法

例8. 若数列满足，（且），求

（第十三届02年“希望杯”）

解：，令，则有

令，；令，

令，；……

所以是以3为周期的数列，则

（3）整体法

例9. 已知数列满足，求：

（1）的值

（2）数列的通项公式

解：（1）令时，

（2） （1）

（2）

（1）－（2）得：，即

所以

（4）迭加法

例10. 数列中，，，求

分析：由题设知

于是

也合适上式

故

练习：

1. 数列中，，，求

2. 数列中，，，求

3. 数列中，，（），求

4. 数列中，，，，求

5. 数列中，，，求

6. 数列中，，，求

答案：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

年级
高中
学科
数学
版本

期数

内容标题
由数列递推公式求通项

分类索引号
G.622.46
分类索引描述
辅导与自学

主题词
由数列递推公式求通项
栏目名称
学法指导

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韩秋荣
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Answer 2

讨论数列{an}且an=3n+1分之2n-1的单调性 这道题目应该用求导的方式来求。求导你应该学过了吧？令an=y, 利用求导公式，得y'=[(2n=1)'(3n+1)-(2n-1)(3n+1)']/(3n+1)的平方=5/(3n+1)的平方. 因为5/(3n+1)的平方 是一个正数，所以an是一个单调递增函数。
将x=an代入函数f(x)，化简得an-1/an=2n. 先通分，得(an平方-1)/an =2n.将an乘过来，得an平方-2n *an=1 再配方，得(an-n)平方=1+n平方。 再化简，就可得到，an=[根号(1+n平方) ] +n.
得到an的通式，再讨论单调性，就容易啦。
很明显，是一个单调递增函数。你自己按照我的做法来做一遍，来消化一下我的答案。呵呵，思路是这样的，要是中间过程有错的，你就帮忙检查下啦。