明确地告诉你，事业单位不会随便开除人，哪怕你只是聘用人员。
我在单位做人事工作，对相关问题比较了解，对于编制内职工开除必须要满足几个条件:
1、受处分，判刑。至于处罚金、拘役那些都不算，甚至有的地方判缓刑都不会直接开除。
2、连续两年年度考核不合格应当解除聘用关系。这个情况很难满足的，都是人情社会，哪个领导也不会如此针对你。
3、事业单位人员连续旷工15个工作日或者一年内累计旷工30个工作日可以解除聘用合同。你得病了请假这个是不属于旷工的，所以一般也不会通过这条把你开除。
以上是开除的几个情节，至于得病了的情况，哪个也没有权力把你开除。
我们单位有一个职工39岁的时候得了精神病，然后就一直在修养，现在都接近50岁了，从来没上班。工资也是照常发了的，只是没有奖励性工资，一个月平均下来领的也不少。
有一个影响，因为得病了不能来上班，所以年度考核他是不用参加的，所以也就不能调整薪级工资，这样他基本工资一直会受影响，将来退休金肯定比同龄人要少一些。
至于你得了抑郁症，单位肯定会比较关照，不可能会开除你的，而且法律也不允许。
我们单位也有一个女孩，他是劳动合同制的聘用人员，就是得了抑郁症，经常请假不来上班，虽然单位也想开除了事，但是领导还是提醒我们要合规合法，这种情况最终还是不能开除，所以她虽然在请假，工资还是一直在发，只是发的都是基本工资，不过这个肯定比很多企业强多了，如果在企业，这种情况估计早被赶走了。
因此，你完全不用顾虑，只要你是正式编制内人员，哪个也不能随便把你开除，除非你违纪违法了，而且还必须很严重才行。