不定积分题，数学高手请

Question

∫dt/（1-acost）^(-1/2)
其中a>0。请问：如何表达才能看出结果的规律性或使结果更具直观性。
我已提高悬赏分
最后再请赐教：待积函数1/(1-cost)^(1/2)的泰勒级数展开式
先表示谢谢！

Answer 1

a取任意值时,这个函数的不定积分无法用有限初等函数的组合表示,因为它能转化为椭圆积分,而椭圆积分是无法用有限的初等函数表示的!
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如果你要精确的结果,则必须要出现椭圆积分或其它乱七八糟的积分,椭圆积分是一个无法初等表示的函数,而且如果你要在此基础上数值计算的话,椭圆积分是无法给出精确值的,要是这样的话,还不如把这个积分式保留,这样还更简洁直观.
如果只是为了数值计算,则有一个近似的积分方法:
将待积函数用泰勒级数展开,再对展开式积分,这样得到的结果更具规律性和直观性,如下:
当a=1/2时:f(x)=sqrt(2)*(1/2+x^2/8-5x^4/192+…)
积分之后得到sqrt(2)*(x/2+x^3/24-x^5/192+…)
这样数值计算时比较方便，比较不爽的就是不是精确的结果，但是精确度却可以控制.
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因为t=0时,你给的式子没有意义,所以,这里我将其在pi/2的邻域内展开!
令x=t-pi/2,(这样令是为了后面的方便)
f(t)=1-x/2+3x^2/8-11x^3/48+19x^4/128-361x^5/3840+307x^6/5120+o(x^7)
我也是用软件算的~可参见这一个网址:
http://wims.math.ecnu.edu.cn/wims.cgi?session=CX779CB5EB.2&+lang=cn&+module=tool/analysis/function.cn

f(x)处输入:1/(1-cos(x))^(1/2)
选中"f 的泰勒展开式",邻域填上"pi/2",阶数选8即可得到上面的结果!

Answer 2

这不是一个很容易用手解决的积分，正如一楼说的那样。我用MATLAB软件做了下，它给出了个表示答案（初等函数）。你可以参考下。
-2^(1/2)/(a/(1+a))^(1/2)*(-(-1+2*a*cos(1/2*x)^2-a)/(1+a))^(1/2)*(1-cos(1/2*x)^2)^(1/2)*EllipticF(cos(1/2*x)*2^(1/2)*(a/(1+a))^(1/2),1/2*2^(1/2)*((1+a)/a)^(1/2))/sin(1/2*x)/(1-2*a*cos(1/2*x)^2+a)^(1/2)
如果A=1，答案是2*(-1+cos(1/2*x)^2)*atanh(cos(1/2*x))/sin(1/2*x)/(2-2*cos(1/2*x)^2)^(1/2)。
你想要的A是多少，我可以求出初等函数解。