已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i，设a 1 ，a 2 ，a

Question

已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i，设a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表 a 1 a 2 a 3 a 4 f( a 1 )f( a 2 )f( a 3 )f( a 4 ) ，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有（　　） A．216个 B．108个 C．48个 D．24个

Answer 1

应选A。
分析：数表个数应为前后两个子数表个数的乘积。前面的子数表a1 a2 a3 a4的个数为4!=24。后面的子数表f(a1) f(a2) f(a3) f(a4)至少有6种可能。估计方式如下。f(x)的定义域和值域都是A，可知f(x)是一一映射，即f(a1) f(a2) f(a3) f(a4)两两不同，或者说数表f(a1) f(a2) f(a3) f(a4)就是1,2,3,4的一个排列。由于任意i∈A，f(i)≠i，可以估计f(a1)至少有3种可能，在确定f(a1)后，f(a2)满足既不等于a2又不等于f(a1)即可，至少有2种可能。所以数表f(a1) f(a2) f(a3) f(a4)至少有6种可能。数表 a 1 a 2 a 3 a 4 f( a 1 )f( a 2 )f( a 3 )f( a 4 ) 至少有24×6=144种可能。仅有A选项满足条件。
进一步地，f(x)应有9种。由对称性可知，分别满足f(1)=2、f(1)=3、f(1)=4的三种映射个数是相等的，显然上述三种映射是互不相同的，只需分析其中一种情况即可。不妨考虑f(1)=2的情况，列出所有可能的映射，仅有如下三种：①1->2, 2->1, 3->4, 4->3; ②1->2, 2->3, 3->4, 4->1; ③1->2, 2->4, 3->1, 4->2。所以，f(x)应有3+3+3即9种。所求数表个数为24×9=216.

Answer 2

首先排列a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，是1，2，3，4的任意一个排列，共有A 4 4 =24种结果， 再排列a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，对应的函数值， ∵f（i）≠i． ∴第一个函数值有3种结果，后面几个函数值依次是3，1，1，共有3×3=9种结果， 根据分步计数原理知共有24×9=216种结果， 故选A．

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Answer 3

数表前半截a 1 a 2 a 3 a 4存在：4*3*2*1=24种，
数表后半截f( a 1 )f( a 2 )f( a 3 )f( a 4 )存在：3*3*3*3=81种，
总数24*81=1944种？？？