复变函数中的
泰勒级数其实就是
高等数学中泰勒级数在复数域的推广，回忆高数中f(x)在点x0处泰勒级数是在某个区间内收敛的，称x0到区间端点的距离为收敛半径。实数域向复数域的推广从几何角度可以看做直线到平面的推广，因此实数域收敛区间的概念推广到复数域就是收敛圆，而复数域内收敛半径的概念自然就是收敛圆的半径。可以看出实数域和复数域的泰勒级数没有本质区别，尤其是求泰勒级数的方法几乎是完全一样的，所以如果不会计算复变函数的泰勒级数，复习一下高数中的求泰勒展开式的方法即可。复变函数中特有的概念是洛朗级数，要弄清它和泰勒级数的区别联系。如果f(z)在以z0为圆心的某圆域内解析，则它可以在该圆域内展开为泰勒级数。但若z0为f(z)的奇点，且以z0为圆心的某去心圆域内解析，则f(z)可以在去掉z0后的圆环域内展开为洛朗级数，它含有负幂项，而泰勒级数不含负幂项。建议看高数中的泰勒中值定理，幂级数部分和复变函数中泰勒级数，洛朗级数部分。
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