已知E、F是AB和CD的中点，6、7、8分别是所标三角形的面积，求四边形ABCD的面积是多少？

Question

如题所述

Answer 1

四边形ABCD的面积是60。方法不是很难我尽量写详细些。

第一步：连接EF，设AF与ED的交点为M，EC与BF的交点为N。

第二步：计算△CFN的面积
∵DF=FC
∴S(△ECF)=S(△DEF)
同理S(△AFE)=S(△BFE)
∴6+S(△MEF)=7+S(△NEF) ; 8+S(△MEF)=S(△CFN)+S(△NEF)
∴S(△CFN)=9。

第三步：设S(△NEF)=x
∵x/9=EN/NC=7/S(△BCN)
∴S(△BCN)=63/x
∵x+9=S(△MEF)+8
∴S(△MEF)=x+1
∵(x+1)/8=S(△MEF)/8=EM/MD=6/S(△ADM)
∴S(△ADM)=48/(x+1)
因此中间从上打下的四个三角形面积分别为48/(x+1)、x+1、x和63/x。

第四步：由于F是CD的中点，所以F到AB的距离是C和D到AB距离和的二分之一。
即我们设△BEF的BE边上的高为h0，设△ADE的AE上的高为h1，△BCE的BE上的高为h2。
有h0=(h1+h2)/2，又因为AE=BE。所以可得它们的面积也有相同的关系：
S(△BEF)=(S(△ADE)+S(△BCE))/2
∴7+x=[6+48/(x+1)+7+63/x]/2

又因为x>0，上面方程可化为2x³+3x²-110x+63=(x-7)(2x²+17x+9)=0
由于2x²+17x+9恒大于0，所以的x=7。

第五步：由于x=7，则可得中间从上打下的四个三角形面积分别为6、8、7、9。
所以四边形ABCD的面积为(6+7+8+9)×2=60。