求数列 线性递推原理和公式

Question

RTRT 求高手解答

Answer 1

　　原理：
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
　　【缩写】
　　等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
　　【等差中项】
　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。
　　有关系：A＝（a＋b）/2
　　【通项公式】
　　an=a1+(n-1)d
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
　　【前n项和】
　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
　　【性质】
　　且任意两项am，an的关系为：
　　an=am+(n-m)d
　　它可以看作等差数列广义的通项公式。
　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
　　am+an=ap+aq
　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
　　和＝（首项＋末项）×项数÷2
　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　　首项=2和÷项数-末项
　　末项=2和÷项数-首项
　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
等比数列　　【定义】
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
　　【缩写】
　　等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
　　【等比中项】
　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
　　有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)
　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
　　【通项公式】
　　an=a1q^(n-1)
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
　　【前n项和】
　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
　　【性质】
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
　　性质：
　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；
　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
一般数列的通项求法　　一般有：
　　an=Sn-Sn-1 （n≥2）
　　累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。
　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。
　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
　　特别的：
　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
　　不动点法（常用于分式的通项递推关系）
数列前N项和公式的求法　　(一)1.等差数列:
　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数
　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
　　2.等差数列前n项和:
　　设等差数列的前n项和为Sn
　　即 Sn=a1+a2+...+an;
　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
　　(二)1.等比数列:
　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
　　则an/am=q^(n-m)
　　(1)an=am*q^(n-m)
　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq
　　2.等比数列前n项和
　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列
　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an
　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
　　注: q不等于1;
　　Sn=na1 注:q=1
　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法

Answer 2

一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
1.
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
　　当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为0．
2.
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
　　当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
3.；
这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.
例1已知数列中，,求的通项公式．
解析：解法一：转化为型递推数列．
∵∴又，故数列｛｝是首项为2，公比为2的等比数列．∴，即．
解法二：转化为型递推数列．
∵=2xn-1+1(n≥2)　　①　　∴=2xn+1　　②
②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x2-x1=2，公比为2的等比数列，即，再用累加法得．
解法三：用迭代法．
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
例2　已知函数的反函数为
求数列的通项公式.
解析：由已知得，则．
令=,则.比较系数，得.
即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．
评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．
（4）
若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.
（5）；
这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.
例3　设数列求数列的通项公式．
解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．
例4　设求数列的通项公式．
解析：设用代入，可解出．
∴是以公比为-2，首项为的等比数列．
∴，
即．
（6）
这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列　
例5　设数列求数列的通项公式．
解析：由可得

设
故即用累加法得
　或

例6　在数列求数列的通项公式．
解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
令使数列是以 为公比的等比数列(待定)．
即∴对照已给递推式， 有即的两个实根．
从而
∴　　①
或　　②
由式①得；由式②得．
消去．
例7　在数列求．
解析：由　①，得②．
式②+式①，得，从而有．∴数列是以6为其周期．故==-1．
三、特殊的n阶递推数列
例8　已知数列满足，求的通项公式．
解析：∵　　 ①
　　　∴ ②
②－①，得．∴故有

将这几个式子累乘，得
又
例9　数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．
解析：由 ①，得 ②．
式①－式②，得，或，故有.
∴,.
将上面几个式子累乘，得，即．
∵也满足上式，∴．

Answer 3

其实对线性的形式核心都是构造等差或等比数列,有些非线性的也可如此.A(n+2)=pA(n+1)+qAn+mn+d是此类的一般表达式,构造:A(n+2)+xA(n+1)+yn+t=z[A(n+1)+xAn+yn+t]解得:xyzt当z=1时A(n+1)+xAn+yn+t为等差,代入数据得到其表达式:现假设:A(n+1)+xAn+yn+t=f(n),A(n+1)+gn+h=x(An+gn+h)解得gh,若x=1,为等差,进而得到An+gn+h=g(n),An=g(n)-gn-h当z!=1

Answer 4

1利用存在性求极限如果我们能够证明某递推形式数列的极限存在，则可在递推公式里取极限，便可求得极限值应满足的方程"解此方程便可求得极限值!"因此，此法的关键在于对数列极限存在性的证明"常用的证明方法有两种：单调有界原理和压缩映象原理
2写出通项求极限

Answer 5

【定义】
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
　　【缩写】
　　等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
　　【等差中项】
　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。
　　有关系：A＝（a＋b）/2
　　【通项公式】
　　an=a1+(n-1)d
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
　　【前n项和】
　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
　　【性质】
　　且任意两项am，an的关系为：
　　an=am+(n-m)d
　　它可以看作等差数列广义的通项公式。
　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
　　am+an=ap+aq
　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
　　和＝（首项＋末项）×项数÷2
　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　　首项=2和÷项数-末项
　　末项=2和÷项数-首项
　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
等比数列　　【定义】
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
　　【缩写】
　　等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
　　【等比中项】
　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
　　有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)
　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
　　【通项公式】
　　an=a1q^(n-1)
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
　　【前n项和】
　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
　　【性质】
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
　　性质：
　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；
　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
一般数列的通项求法　　一般有：
　　an=Sn-Sn-1 （n≥2）
　　累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。
　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。
　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
　　特别的：
　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
　　不动点法（常用于分式的通项递推关系）
数列前N项和公式的求法　　(一)1.等差数列:
　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数
　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
　　2.等差数列前n项和:
　　设等差数列的前n项和为Sn
　　即 Sn=a1+a2+...+an;
　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
　　(二)1.等比数列:
　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
　　则an/am=q^(n-m)
　　(1)an=am*q^(n-m)
　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq
　　2.等比数列前n项和
　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列
　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an
　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
　　注: q不等于1;
　　Sn=na1 注:q=1
　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法