为什么正交矩阵一定是对称矩阵呢？

Question

如题所述

Answer 1

一句话来解释是：正交矩阵有很多好的性质可以为我们所用！！

再来具体说一下：
1. 首先，如果不做正交单位话，我们也可以通过U（把特征向量按照列写成的矩阵），把一个实对称矩阵对角化为以它的特征值为对角元的对角矩阵。
2.其次，对应一个特征值的特征向量乘以任何一个非零的系数，仍然还是对应着这个特征值的特征向量，如果一个特征值对应多个特征向量，那在它们张成的空间里找出同样数量的线性不相关的向量，也都是这个特征值的特征向量，所以说特征向量并不唯一，也就是说这里的U是不唯一的。
而对于一个实对称矩阵，它的属于不同特征值的特征向量天生就是正交的，这使得我们只要在每个特征值内部选取合适的互相正交的特征向量，就能保证所有的特征向量都正交。
特征向量乘以一个系数，仍然还是特征向量。所以，对于实对称矩阵来说，我们完全可以在诸多的U中选出一个特殊的Q，让Q的每一个列向量都互相正交而且长度为1。这样的相当于由一组标准正交基当做列向量组成的矩阵Q，正是一个正交矩阵。
因此，对实对称矩阵对角化的时候，正交单位化不是必须的，只有当我们想在实对称矩阵的诸多U里选取一个正交矩阵Q时，才需要做。