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实对称矩阵存在正交矩阵
最下面一行因A是
实对称
阵故
存在正交
阵Q怎么理解?
答:
A是
实对称矩阵
,那么,A一定可以对角化 (即相似于一个对角矩阵)而且,必然存在一个正交矩阵作为相似变换矩阵,即
存在正交矩阵
Q Q^(-1)·A·Q=对角矩阵
实对称矩阵
一定是
正交矩阵
吗?
答:
不一定
。
实对称矩阵有可能是正交矩阵,但是不是所有的实对称阵都是正交矩阵
。 这里的P是是对称矩阵,且刚好P的逆等于P的转置,所以P也是正交矩阵。这只是一种特殊情况。正交矩阵定义:如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵 。1正交矩阵的定理:在矩阵...
设A,B都是
实对称矩阵
,证明:
存在正交矩阵
P,使得(P^-1)AP=B的充分必要条 ...
答:
充分性:由A,B都是
实对称矩阵
且A,B的特征值全部相同, 设为 a1,a2,...,an 则
存在正交矩阵
C,D满足:C^-1AC = diag(a1,a2,...,an),D^-1BD = diag(a1,a2,...,an),所以有 C^-1AC = D^-1BD 所以 B = D(C^-1AC)D^-1 = (DC^-1)A(CD^-1)= (CD^-1)^-1A(CD^-1)...
实对称矩阵
一定是
正交矩阵
吗
答:
不一定。实对称矩阵有可能是正交矩阵,但是不是所有的实对称阵都是正交矩阵
。这里的P是是对称矩阵,且刚好P的逆等于P的转置,所以P也是正交矩阵。这只是一种特殊情况。正交矩阵定义:如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵 。正交矩阵是实数特殊...
实对称矩阵
一定
正交
吗?
答:
实对称矩阵
的属于不同特征值的特征向量
正交
,由此可设另一个特征值的特征向量为 (x1,x2,...)^T, 它与已知特征向量正交, 求出基础解系即可。一般情况下, 解出的基础解系所含向量的个数必须是另一个特征值的重数k,因为实对称矩阵k重特征值必有k个线性无关的特征向量,而与已知向量正交的线性...
为什么
实对称矩阵
的相似对角化要用
正交矩阵
?
答:
对称矩阵
也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化,只不过它有特殊的性质(对称),因此我们就可以考虑特殊的对角化,也就是正交相似对角化。这么做有好处:
正交矩阵
的逆矩阵很容易求,就是它的转置,不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。如果是一个1000*1000的矩阵求逆,那要多长时间才能做完...
设A为
实对称矩阵
,且A
正交
相似于B,证明B为实对称矩阵。
答:
由已知,
存在正交矩阵
Q使得 Q^TAQ=B 因为 A是对称矩阵 所以 A^T=A 所以 B^T = (Q^TAQ)^T = Q^TA^T(Q^T)^T = Q^TAQ = B 所以B为对称矩阵.又因为A为
实矩阵
, 则其特征值都是实数, 故特征向量为实向量 所以Q是实矩阵 所以 B=Q^TAQ 是
实对称矩阵
...
实对称矩阵
是否相互
正交
?
答:
1、
实对称矩阵
A的不同特征值对应的特征向量是
正交
的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若λ具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λE-A)=n-k,其中E为单位矩阵。
证明证明
实对称矩阵
是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数_百度知...
答:
A
实对称
,则
存在正交矩阵
P'AP=diag,对角线上是n个特征值.当对角线上特征值全是正数时:对任意的非零向量x,y=Px(此时x和y一一对应).则y'Ay=x'P'APx=x'diagx 此时x'diagx按照矩阵乘法展开,可见是正数.这就说明了这样一个结论:任意非零向量y,令x=P逆y,则y'Ay>0,满足正定定义.反之,当A...
为什么
实对称矩阵
的相似对角化要用
正交矩阵
?
答:
实对称矩阵
的相似对角化要用
正交矩阵
一般都是为了简化后续的计算。因为实对称矩阵是特殊的矩阵。他的特点就是可以正交对角化(一般的矩阵只能相似对角化)即把特征向量组成的矩阵再进行斯密特正交化以及单位化 这样做的目的是使得P的逆矩阵AP=P的转置矩阵AP,即P的逆矩阵=P的转置矩阵。如果不进行正交化...
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