如何理解“一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2^个，A的真子集共有2^-1个”

Question

2^-1是因为空集吗，为什么是2^呢？如果取0的话不就没有子集了吗？

Answer 1

郭敦荣回答：
集合A含有n个元素，“则A的子集共有2^个，”的表达是不完整确切的；“A的真子集共有2^-1个”的表达是错误的。
正确的表达是：若集合A含有n个元素，则A的子集共有2^n个，A的真子集共有（2^n）-1个。A的真子集不包含集合A本身。
郭敦颙在其《数学纲领—微观数学与宏观数学》（发表于博客中国）第五章中给出了关于这个问题的解答——
第五章集合中元素的个数与基数
⒌1 基础知识
⒌⒈1集合中元素的可数性
不论有限的还是无限的任意集合，从动态上来说，对集合中元素个数多少的
量度对应于对自然数的量度．自然数是可数的，因此有
定理⒌1　集合中元素的个数具有可数性．可数性是量度集合中元素个数多少
的基础，也是基数（势）理论的基础．
⒌⒈2 集合的幂集
定义⒌1以一个集合的子集作为元素而成的集合，称为这个集合的幂集．
设一个集合为A,子集为Ai，i＝1,2,…，A的幂集为A，则有
Ai∈A（黑体） （⒌⒈⒈1）
幂集A（黑体）＝｛Ai︱i=1,2,…｝　 （⒌⒈⒈2）
如集合　A＝｛1,2.3｝，
则这个集合的子集为：A1，A2，A3，…，A8．
A1＝｛1｝
A2＝｛2｝　　，A1〜A3取A的一个元素所成的子集，
A3＝｛3｝
A4＝｛1,2｝
A5＝｛1,3｝　　，A4〜A6取A的两个元素所成的子集，
A6＝｛2,3｝
A7＝｛1,2,3｝，
A8＝｛｝＝．
那么, A＝｛Ai︱i=1,2,…,8=2^ 3｝．
一般地有　　A＝｛Ai︱i=1,2,…,2^ a｝，　　　　　　　　 ⒌⒈2）　　　
a——集合A中元素的个数，
⒌⒈3 集合的基数(势)
定义⒌2一个集合的基数就是这个集合幂集的元素的个数，也就是子集的个数，基数也称为势．
设集合A的元素的个数为a，A的基数为α，易证
α=∑（组合）C下a上i=2^a，i=0，1，2，…，a （⒌⒈3）

由（⒌⒈3）式显然可知α为正整数，于是有
定理⒌2　集合的基数α必属于自然数N，即
α∈N（⒌⒈4）
在这里，n=a。

Answer 2

n个元素，在子集中可出现，也可不出现，所以共有2^n种可能。
规定，空集是任何集合的子集。