请离散数学高手证明一道题

Question

如果m+n和n+p都是偶数，其中m，n和p都是整数，那么m+p也是偶数
这道题用直接证明和反证法如何证明？

Answer 1

一、证明（直接）：因为m，n和p都是整数，m+n是偶数，有2种情况：

1.m和n都是偶数，由于n+p是偶数，则p也是偶数，所以m+p也是偶数。
（2个偶数相加必然是偶数。）

2.m和n都是奇数，由于n+p是偶数，则p也是奇数，所以m+p也是偶数。
（2个奇数相加必然是奇数。）
综上，得证。
二、证明（反证法）：设m+p不是奇数，则m和p必然有一个是偶数，一个是奇数。
若m为偶数，p是奇数，由于m+n是偶数，所以n必为偶数，那么n+p则为奇
数，与n+p是偶数不符，假设不成立。

若p为偶数，m是奇数,同理可证假设不成立。
综上，得证。

Answer 2

m+n为偶数，n+P为偶数
所以，(m+n)+(n+p)为偶数
(m+n)+(n+p)=m+p+2n为偶数
2n为偶数，且m,n,p为整数
所以m+p为偶数。
反证：
m+p为奇数
n为整数，2n为偶数
m+p+2n 为奇数
m+n+n+p为奇数
m,n,p为整数
m+n与n+p必有一个是奇数
与原题意不符
所以m+p 为偶数本回答被提问者采纳

Answer 3

直接证明：
m+n = 2a

n+p = 2b
m+p = (m+n) + (n+p) - 2n = 2a + 2b - 2n = 2(a+b-n) 是偶数。

反证法：

假定 m+p 不是偶数，

则必有 m 和 p 一奇一偶，
所以 m+n 和 p+n 必为一奇一偶，
与题设矛盾。