高中数学难题求助：求|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|的最小值。

Question

还有这题：|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2011|最小值。

PS：别抄网上的，网上我都看过了，是错误的！

Answer 1

解：设f(x)=|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|
①当x≥-1/2011时，|x+1|+|2x+1|+......+|2011x+1|≥|x+1+2x+1+......+2011x+1|
当(x+1),(2x+1),......(2011x+1)均大于等于0时相等
所以当x≥-1/2011时，此时最小值是f(-1/2011)=1005。
②当x≤-1时，|x+1|+|2x+1|+......+|2011x+1|中所有项的绝对值均≤0，故此时x越小函数值越大，
此时最小f(-1)=0+1+2+……+2000＞1005
③当-1＜x＜-1/2011时，设-1＜-1/n＜-1/2011，n∈（1,2011）
函数={（n-1/n）+(n-2/n)+……+1/n+0+1/n+……+（n-2/n）+（n-1/n）}+(n/n)+……+(2011-n)/n
=n-1+【2011（1006-n）】/n
=【（2011*1006）/n】+n-2012
≥【2根号（2011*1006）】-2012≈833.69＜1005
当且仅当n=-根号（2011*1006）≈1422取等
综上最小值为【2根号（2011*1006）】-2012追问

还有这题：|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2011|最小值。

追答

x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2011||可以看作求点x到-1，-2，,,,，-2011的所有距离的和，很直观显当x=-1006的时候取到最小值=1011030，楼下的说法很对。

Answer 2

首先从简单讲起吧：
|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2011|
这题明显当x=-1006的时候取到最小值啦。
关键是怎么看上面那条式子，|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2011|可以看作求点x到-1，-2，,,,，-2011的所有距离的和，很直观，当x在-1，-2，...，-2011这些点的中间的时候距离的总和最小啦~~因此当x=-1006的时候|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2011|的值最小~~你自己把x=-1006带入将最小值求出来吧，这等差数列你应该会的啦。

然后看|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|
这题也不是很难，可能会繁琐了一点。嗯，分区间考虑，令ix+1=0得到x=-1/i（i=1,2,...,2011），这样我们就得到了2012个区间：（－无穷,-1]，(-1,-1/2]，...，(-1/2011,+无穷)，
当x在（－无穷,-1]时，|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|=-(x+1+2x+1...+2011x+1)，明显递减（这只要看到x的系数小于0就好）
当x在(-1,-1/2]时，|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|=x+1-(2x+1+...+2011x+1)，还在递减
...
终有一天，|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|会在某个区间开始递增，也就是说，我们只要找出最后一个递减的区间，那么我们就能求到这个函数的最小值了，也就是要找x的系数什么时候变正：
1+2+...+n-(n+1)-...-2011>=0
解得n>=1422
也就是说|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|在(-无穷,-1/1422]是递减的，而在(-1/1422,+无穷)是递增的，因此当x=-1/1422的时候|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|能取到最小值。好了，你自己把x=-1/1422代入|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|就可以求出最小值了，这也是一个等差数列求和，相信你会的。

PS: 虽然我用直观的方法解决了|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2011|的最小值问题，但是如果题目要求严密的推导，那么可以借用我求|x＋1|＋|2x＋1|＋…＋|2011x＋1|最小值的方法。

Answer 3

|x+1|+|2x+1|+…+|2011x+1|>=|x+1+2x+1+....+2011x+1|=|2011*2012/2*x+2011|
=|2011*1006x+2011|，
等号仅当|x+1|=|2x+1|=.....=|2011x+1|时成立，也就是当x=0时成立，
所以这个最小值为2011

参考资料：百度一下