如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中

Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由；（4）若点M为x轴上一点，在抛物线上是否存在点N使得以M、N、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，
∴-3+1=b，-3×1=-c，
∴b=-2，c=3，
∴该抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；


（2）存在；
如图1，∵抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3，
∴抛物线的对称轴x=-1，C（0，3）
∴C′（-2，3），
设直线AC′的解析式为：y=kx+b，
∵A（1，0），
∴

3=-2k+b 0=k+b

  解得

k=-1 b=1

，
∴直线AC′的解析式为：y=-x+1，
把x=-1代入直线AC′的解析式y=-x+1，得y=2，
∴Q（-1，2）；

（3）存在；
如图2，设P（m，-m²-2m+3），
∴OQ=-m，PQ=-m²-2m+3，BQ=3+m，
∴S_△PBQ=

1

2

BQ?PQ=

1

2

（3+m）（-m²-2m+3），S_{四边形PQOC}=

1

2

（OC+PQ）?OQ=

1

2

（3-m²-2m+3）?（-m），S_△BOC=

1

2

OB?OC=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴S_△PBC=S_△PBQ+S_{四边形PQOC}-S_△BOC=-

3

2

m²-

3

2

m，
即S_△PBC=-

3

2

m²-

3

2

m=-

3

2

（m+

1

2

）+

3

8

，
∴当m=-

1

2

时，△PBC的面积最大，最大值为