高中立体几何三题，麻烦速度。

Question

1.在正方体AC1中，E是棱CC1上的点，且a=C1E/EC，(1)若平面BED1⊥平面BDD1B1，则a=_____；(2)若平面BED1⊥平面AB1C，则a=_____。

2.(1)菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，将其沿BD折成直二面角后，AC=_____；二面角A-CD-B的正切等于_____。
(2)在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将其沿BD折成直二面角，AC=_____。

3.已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M是PC中点，PA=AD
(1)求证：平面MAB⊥平面PCD
(2)求二面角M-AB-C的大小

中午来看答案，麻烦快点了。要过程的，谢谢！

Answer 1

解：1（1）取B1D1中点M，BD中点N，连接CN,NM，MC1，在正方体中，易知CN垂直于面BDD1B1，故面CNMC1垂直于面BDD1B1，点E属于面CNMC1，所以若BED1垂直于BDD1B1,则过E作BDD1B1的垂线，垂足必在NM上，且必在BD1上，故垂足为NM与BD1的交点，即为它们的中点，设之为O，则EO垂直于BDD1B1，又CN垂直于BDD1B1，所以NC平行于EO，而O为NM中点，所以E为CC1中点。a=1
（2）正方体中，BD1垂直于面AB1C，BD1属于BED1，所以BED1垂直于AB1C，所以a取任意值
2（1）取BD中点E，连接AE,EC,AC，则AEC为等腰直角三角形，易求得AE=EC=2倍根号3（符号不会打），则AC等于2倍根号6
三角形ACD为等腰三角形，AD=DC=4，AC等于2倍根号6，则其面积为2倍根号15，三角形CED的面积为2倍根号3，易知AE垂直于面CBD，故二面角A-CD-B的余弦值等于三角形CED的面积除以三角形ACD的面积，为1/根号5，所以其正切值为2
（2）这个叙述起来有点麻烦，结果我算出是，（根号337）/5
3（1）取PD中点N，连接NM，AN，则NM平行且等于DC的1/2，则NM平行于AB，即ABNM在同一面上。PA垂直于ABCD，所以PA垂直于AD和DC，因而PA垂直于NM，又DC垂直于AD，所以NM垂直于AD,所以NM垂直于面PAD，则AN垂直于NM，又三角形PAD为等腰直角三角形，所以AN垂直于PD，所以AN垂直于面PCD，因此面MAB垂直于PCD
（2）取AB中点P，CD中点Q，则PQ垂直于AB，MP平行且相等于NA，MQ平行且相等于ND，PQ平行且相等于AD，所以MP也垂直于AB，且三角形NAD全等于三角形MPQ,所以角MPQ的大小即为所求二面角的大小，也即为角NAD的大小，为45度
时间长了，做这些题多少有些吃力，希望你能看得懂，呵呵:-D

Answer 2

1.(1)a=1，即E为CC1中点时，平面BED1⊥平面BDD1B1。
连接BD1和B1D,交点为O
在正方体BD1中，O点平分BD1和B1D
E为CC1中点时，ED1=BE
在等腰三角形ED1B中，EO为底边BD1上的中线
∴EO⊥BD1
同理有：EO⊥B1D
∴EO⊥BB1D1D平面，则平面BED1⊥平面BDD1B1

（2）在棱锥B-ACB1中，底面ACB1为等边三角形，三个侧面为等腰直角三角形
BD1与ACB1交点为G，G为B点在ACB1上的正投影
BG⊥ACB1,即BD1⊥ACB1
∴无论E点在CC1上什么位置，都有平面BED1⊥平面AB1C

2.（1）作AE⊥BD,垂足为E
AE=EC=√3AB/2=2√3
AC=√2AE=2√6

作AF⊥DC,垂足为F.连接EF
∵ABD⊥CBD
∴EF为AF在CBD平面的投影,EF⊥DC
∠AFE即为所求。
tan ∠AFE=AE/EF
菱形ABCD中，∠A=60°∴ΔBDC与ΔADB为两相等的等边三角形
AE=2√3, EF=h/2=AE/2=√3
∴tan ∠AFE=2

3.(1)PA⊥平面ABCD ∴平面PAD⊥平面ABCD
CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD
PC在平面PAD上的正投影为PD,M点正投影为PD中点M'
连接AM', PA=PD ∴AM'⊥PD
AM与BM在PAD上的正投影均为AM'
∴AM⊥PD,BM⊥PD
则PD⊥平面MAB 平面MAB⊥平面PCD

（2)M在ABCD上的正投影为对角线交点O
AM=BM
作ME⊥AB,则E为AB中点，连接OE,OE⊥AB
∠MEO即为所求
OE=AD/2, MO=PA/2
tan ∠MEO=MO/OE=PA/AD=1
∴∠MEO=45º本回答被提问者采纳

Answer 3

作几何题必须要作图分析。如果分析不出来，就用作简单的方法：向量法。如果你是高三学生，就因该知道。
像高考几何题是必做题，湖南高考一道简单题占12分。为了提高解题速度，用传统方法做不出来（要花费很多时间的）最好用向量法，这个方法又快又准
当然：关键是建立空间直角坐标系。

Answer 4

首先：点E是CC1的中点；可知：a=DD1/2=BB1/2