一个集合中有多少不同的划分？

Question

如题所述

Answer 1

集合上每个等价关系对应集合的一种划分,集合的每一种划分又对应于该集合的一个等价关系,不同的等价关系对应于集合的划分也不同,因此集合有多少不同划分,就有多少不同等价关系,三个元素的集合共有5种不同划分,(含有1块和3块各有1种,含有2块有3种),故含有三个元素的集合，可以确定5种等价关系. 如A={1，2，3}，则5种不同划分为 {{1}, {2}, {3}};{{1}, {2,3}};{{1,3}, {2}};{{1,2}, {3}};{{1, 2, 3}}; 对应的等价关系为 R1={(1,1),(2,2),(3,3)};R2={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}; R3={(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(3,3)}; R4={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}; R5={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)}; 一般地,对有n个元素的集合有Bn种不同的划分(等价关系),Bn=2n!/((n+1)n!n!),如4个元素的集合，可以确定14种等价关系.