内法线方向

Question

如题所述

Answer 1

求解方向导数中的内法线方向问题
设封闭曲线的方程为 F(x,y) = 0

那么法向量可以为 n = {∂F/∂x， ∂F/∂y}

特别的，若曲线的方程为 y = y(x)，即 y-y(x) = 0

那么法向量可以为 n = ±{-dy/dx, 1}

“+”表示法向量与y轴正向夹角不大于π/2，“-”则反之

当需要求封闭曲线内法线方向的时候就必须画图了

因为“+”并不是表示外，“-”也不表示内

根据图像才能较直观的看出内法线是朝上还是朝下

请见下图，图1里内法线是朝下的，所以取“-”（这个即题目里的情况）

而图2里内法线是朝上的，所以取“+”
怎么区分外法线和内法线方向
1.仅有闭曲线这个条件是不行的，一般还需要自身不相交，即简单闭曲线（Jordan闭曲线）。

否则就要把区域分块然后再处理，比较罗嗦。下面只讨论Jordan闭曲线。

2.对于法向量，指向曲线内部的角内法向，反之是外法向。至于怎么定义闭曲线内外，可以这样： 1）利用参数方程x=x(t),y=y(t)，如果参数方程的走向（参数t增加的方向）是曲线的逆时针方向，那么其“左”侧就是内部。

精确描述是对于切向量（x'(t),y'(t)），那么（-y'(t),x'(t)）是内法向。如果逆时针则相反。

2）利用一般方程f(x,y)=0，如果{（x,y）:f(x,y)。
什么叫外法线方向？
1.仅有闭曲线这个条件是不行的，一般还需要自身不相交，即简单闭曲线（Jordan闭曲线）。

否则就要把区域分块然后再处理，比较罗嗦。下面只讨论Jordan闭曲线。

2.对于法向量，指向曲线内部的角内法向，反之是外法向。至于怎么定义闭曲线内外，可以这样：1）利用参数方程x=x(t),y=y(t)，如果参数方程的走向（参数t增加的方向）是曲线的逆时针方向，那么其“左”侧就是内部。

精确描述是对于切向量（x'(t),y'(t)），那么（-y'(t),x'(t)）是内法向。如果逆时针则相反。

2）利用一般方程f(x,y)=0，如果{（x,y）:f(x,y)<0}是有界的，那么这个 *** 就是内部，反之则是外部。3.对于直线，没有特别的规定。