证明一道递推数列问题（大学数学）

Question

n=1,2… ln(n)为自然对数
Cn=1+1/2+1/3+1/4......1/n-ln(n)
1.证明Cn>0
2.证明Cn随着N的增加而单调减小

Answer 1

第一问 用欧拉公式我们可以得知
1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C，
其中C为欧拉常数 随着n的增大而减小 极限是0.5772……
那么很明显可以看出
1+1/2+1/3+……+1/n > ln(n)
所以Cn>0 得证~

第二问
Cn+1=1+1/2+1/3+1/4......1/n + 1/(n+1)-ln(n+1)
Cn=1+1/2+1/3+1/4......1/n-ln(n)

那么Cn+1 - Cn = 1/(n+1)-ln(n+1)+ln(n) = 1/(n+1)-ln[(n+1)/n]

n=1 时 可以求出这个数是1/2 - ln2 < 0
设f(x)=1/(x+1) g(x)=ln[(x+1)/x]
那么可以求出
f'(x)= -1/ (x+1)^2
g'(x)= -1/ x(x+1)
因为f(1)<g(1)
显然f(x)<g(x)
那么取其中的正数点 也有f(n)<g(n)
所以Cn+1 - Cn < 0

Answer 2

作为初一学生，这道题实在看不懂，什么是自然对数？