设M为部分正整数组成的集合，数列{a n }的首项a 1 =1，前n项的和为S n ，已知对任意的整数k∈M，当整数n

Question

设M为部分正整数组成的集合，数列{a n }的首项a 1 =1，前n项的和为S n ，已知对任意的整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k +S n-k =2(S n +S k )都成立，(1)设M={1}，a 2 =2，求a 5 的值；(2)设M={3，4}，求数列{a n }的通项公式．

Answer 1

解：(1)由题设知，当n≥2时， ， 即 ， 从而 2a 1 =2， 又a 2 =2， 故当n≥2时，a n =a 2 +2(n-2)=2n-2， 所以a 5 的值为8． (2)由题设知，当k∈M={3，4}且n＞k时， ， 且 ， 两式相减得 ，即 ， 所以当n≥8时， 成等差数列，且 也成等差数列． 从而当n≥8时， ， (*) 且 ， 所以当n≥8时， ，即 ， 于是当n≥9时， 成等差数列， 从而 ， 故由(*)式知 ， 即 ， 当n≥9时，设 ， 当2≤n≤8时，n+6≥8，从而由(*)式知 ， 故 ， 从而 ， 于是 ， 因此， 对任意n≥2都成立， 又由 可知 ， 故9d=2S 3 且16d=2S 4 ，解得 ，从而 ， 因此，数列{a n }为等差数列． 由a 1 =1知d=2， 所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1．