要造一个容积为v的圆柱形闭合油罐，问底半径r和高 h等于多少时，能使表面积最小？这时底半径与高的比

Question

要造一个容积为v的圆柱形闭合油罐，问底半径r和高 h等于多少时，能使表面积最小？这时底半径与高的比是多少？（注:请用函数极值与最值来求）

Answer 1

解：由体积恒定可得
V=πr²h
于是h=V/(πr²)
设表面积为S，则有
S=2πrh+2πr²
=2πr*V/(πr²)+2πr²
=2V/r+2πr²
=V/r+V/r+2πr²
≥3(V/r*V/r*2πr²)^(1/3)
=3(2πV²)^(1/3)
当且仅当V/r=2πr²，也即
r=[V/(2π)]^(1/3)
时S取最小值。
此时h=V/(πr²)=2[V/(2π)]^(1/3)=2r
故r/h=1/2
如果用求导法，则有：
S(r)=2V/r+2πr²
S'(r)=-2V/r²+4πr
令S'(r)=0解得
r=[V/(2π)]^(1/3)
S''(r)=4V/r³+4π>0
故为最小值。下略。