如图，抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式．（2）
如图，抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）
（1）y=﹣x 2 ﹣2x+3；（2）①点P（ ， ）时，△PDE的周长最大；②当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（ ， ），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣ ﹣1，2）． |
| 试题分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解 答即可； （2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标； ②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）， ∴  ，解得  ，所以，抛物线的解析式为y=﹣x 2 ﹣2x+3； （2）①∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴OA=OB=3， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO=45°， ∵PF⊥x轴， ∴∠AEF=90°﹣45°=45°， 又∵PD⊥AB， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴PD越大，△PDE的周长越大， 易得直线AB的解析式为y=x+3， 设与AB平行的直线解析式为y=x+m， 联立  ，消掉y得，x 2 +3x+m﹣3=0， 当△=3 2 ﹣4×1×（m﹣3）=0， 即m=  时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x= ，y= + = ，∴点P（ ， ）时，△PDE的周长最大；②抛物线y=﹣x 2 ﹣2x+3的对称轴为直线x=  ，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，  在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°， ∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°， ∴∠APF=∠QPM， ∵在△APF和△MPQ中，  ，∴△APF≌△MPQ（AAS）， ∴PF=PQ， 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n， 即PF=﹣1﹣n， ∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n）， ∵点P在抛物线y=﹣x 2 ﹣2x+3上， ∴﹣n 2 ﹣2n+3=﹣1﹣n， 整理得，n 2 +n﹣4=0， 解得n 1 = （舍去），n 2 = ，﹣1﹣n=﹣1﹣ = ，所以，点P的坐标为（ ， ）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，  ∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°， ∴∠FPA=∠QAN， 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN， ∴△APF≌△NAQ， ∴PF=AQ， 设点P坐标为P（x，﹣x 2 ﹣2x+3）， 则有﹣x 2 ﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2， 解得x= ﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣ ﹣1，此时点P坐标为（﹣
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