关于高斯定理对称性的问题

Question

分析对称性，是为了更好地找到一个E处处相等、方便点积以及方便积分的高斯面

但是大部分物理书对于具体问题的对称性的推导似乎只是一句话带过
如：由于电荷分布是球对称的，所以场强分布是球对称的，即场强方向是沿着矢径方向（也就是从球心出发的），这个我真的不知道为什么

还如：无限大电平板的场强只能垂直于平板， 这个我能理解—— 比如有平板外的一点，那么通过这一点的场强在水平方向的分量一定能被抵消，那么剩下的只有垂直方向的场强。

我的问题是：
1.对称性是数学上的吗？

2对于对称性，有没有一种通用的分析方法
3为什么电荷是球对称，场强也是？（如果可以画图解答，更好）

Answer 1

1、对称性更是物理学上的！物理意义相同
2、一个物体是否具有对称性，是观察、测量的结果，比如球体具有球对称性！电荷分布也是！
但是，电场的对称性是通过分析得到的！可以用反证法加以证明的！！
3、如果电荷是球对称分布的，那么场强也必然是球对称的！你可以设想一下，如果电场不是球对称的，会有什么结果呢？------结果就是：任何一点的电场强度可以有N个方向、有N个大小！-----这可能吗？追问

追答

这么理解是可以的！但是，这是不能严格----证明场强方向是沿着矢径方向的！关键是严格！因为球体中每一点都会在P点产生电场！

追问

你说的有道理！但是球体中的每一点都能找到另一点使水平方向分量抵消，这样是不是要用更严格的话语来表达。

Answer 2

这里的对称性仅仅是空间对称性，属于技巧问题，没有通用的分析方法，
包括你的第3点，更多要靠自己的直觉和技巧。追问

你确定 球对称的那个问题也是直觉？
总归有某种抵消关系，最终才能得出吧

追答

因为球对称的电荷分布与角度无关，所以产生的电场也与角度无关，是球对称的。

追问

追答

球对称的电荷分布与角度无关，即：ρ=ρ（r）≠ρ（θ，φ），数学上非常明确。

追问

厉害！
但是这是怎么推导出来的？

追答

球对称用数学表达就是ρ=ρ（r）≠ρ（θ，φ），不是推导的。
又例，两个方向互相垂直，就是点乘等于零。
处理问题的基本程序是先定性后定量，要学会用准确、精确的数学来表达。