已知集合A={(X,Y)||x|+|y|=a,a>0},B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}

Question

题目如图、、如果能附图说明、可以加分、

Answer 1

A={(X,Y)||x|+|y|=a,a>0}

x≥0,y≥0时，即x+y=a表示在第一象限内的线段

将x,y分别换成-x,-y方程不变，因此

|x|+|y|=a关于x轴对称，也关于y轴对称

那么，集合A={(X,Y)||x|+|y|=a,a>0}

表示点集为正方形

 

|xy|+1=|x|+|y|

即|xy|-|x|-|y|+1=0

即(|x|-1)(|y|-1)=0

∴|x|=1或|y|=1

即x=±1,y=±1

B={(x,y)|x=±1,或x=±1}

表示2组平行线

A∩B为8个点，构成正八边形

如图，∠AOB=45º

又A(1,a-1)

∴tan∠xOA=a-1

tan∠AOB=2(a-1)/[1-(a-1)²]=1

∴2a-2=1-a²+2a-1

∴a²=2

∵a>0  ∴a=√2

追问

嗯、谢谢、不过你貌似忽略了另一种情况？

追答

确实呀,藏有玄机呀！
此时，正八边形边长为2
∴tan∠xOA=1/(a-1)
tan∠AOB=[2/(a-1)]/[1-1/(a-1)²]=1
∴2a-2=-1+a²-2a-2
∴a²-4a-3=0
a=-1（舍去)或a=3
∴a=3

结果a=√2或a=3

追问

这个、你方程解错了、、我们给的答案是根2和2+根2

追答

嗨嗨，不好意思呀
tan∠AOB=[2/(a-1)]/[1-1/(a-1)²]=1
∴2a-2=-1+a²-2a+1
∴a²-4a+2=0
解得a=2+√2(舍去2-√2）