如图,已知抛物线y=ax^2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),直线BC经过B,C两点.求抛

Question

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0，-3），直线BC经过B.C两点（1）求抛物线的函数解析式（2）P是直线BC下方抛物线上一个动点，连结BP,CP求△BCP面积的最大值及此时点P的坐标

Answer 1

1）把A（-1,0）B（3,0）C（0，-3）代入抛物线y=ax²+bx+c得
a-b+c=0 (1)
9a+3b+c=0 (2)
c=-3 (3)
把（3）代入（1）（2）得
a-b=3 (4)
9a+3b=3 则 3a+b=1 （5）
（4）+（5） 4a=4 a=1 代入 （4）得 b=-2
抛物线的函数解析式为 y=x²-2x-3

2) 因为直线BC过B,C, 则设直线BC的函数解析式为 y=kx+b
把B（3,0）C（0，-3）代入得
0=3k+b
-3=b
则k=1
直线BC的函数解析式为 y=x-3
因为P点的抛物线上
设P点的横坐标为a， 则纵坐标为a²-2a-3
过P作平行于Y轴的直线交BC于D 交X轴于E
则直线PD的函数解析式为 x=a
因为直线PD与直线BC交于D
则 x=a
y=x-3
解得 x=a y=a-3
所以D点坐标为（a, a-3)
因此过P作平行于X轴的直线交于F
则： PD=PE-DE=|a²-2a-3|-|a-3|
因为a＜3
所以 PD=3a-a²
PF=a
BE=OB-EO=3-a
△BCP的面积=△DCP的面积+△BDP的面积
=1/2*PD*PF+1/2*PD*BE
=1/2*(3a-a²)*a+1/2*(3a-a²)*(3-a)
=1/2(3a²-a³+9a-3a²-3a²+a³)
=1/2(9a-3a²)
=-3/2[a²-3a+(3/2)²-(3/2)²]
=-3/2[(a-3/2)²-9/4]
所以当a=3/2时 △BCP的面积=-3/2[(a-3/2)²-9/4] 有最大值
这时 P点的纵坐标=a²-2a-3=（3/2）²-2*（3/2）-3=-15/4
P点坐标 （3/2， -15/4）

Answer 2

(1)y=x^2-2x-3
(2)p(3/2,-15/4),△BCP面积为27/8