抽象函数中关于线对称的问题回答

Question

设函数F(X)在R上满足f(2-x)=f(x+2),f(7-x)=f(x+7),且在并区间0到7上，只有f(1)=f(3)=0,试判断奇偶性。

Answer 1

f(X+a)=f(b-X),则f(X)具有对称性。f(x)关于X=(a+b)/2对称
[(X+a)+(b-X)]/2=(a+b)/2
f(a+X)=f(a-X)也是一样的道理。这个对称可以用二次函数图像可以观察出来。关于X=a对称。
可以自己画下二次函数图象看看

Answer 2

奇函数要求过原点，该函数在[0，7]上只有f(1)和f(3)=0 则其不是奇函数。在f(2-x)=f(x+2)中令x取2-x可得f[2-(2-X]=f(-x)即f(x)=f(-x)。所以该函数为偶函数。对称轴是x=2和x=7