线性代数是由线性方程组发展起来的，线性方程组是线性代数的核心概念和根基。后面有些概念都可以通过线性方程组去理解。
什么叫做线性方程呢，线性指的就是直线的意思，变量与自变量是比例关系，对于两个变量的线性方程在其坐标系中表示直线，多余三个自变量的线性方程在其坐标系中表示直的平面。
我们知道微积分的思想，就是化曲为直，把非线性的曲线划分成直线段，把曲面分成平面，因为我们只会计算直线，测量同样也只会直尺。工程学中就很多复杂的问题就是直径划分中简单线性问题，会有很多因素变量形成对应关系，这就需要列成很多线性方程组。
例如方程组：
5x＋6y＋4z＝6。
3x＋6y＋8z＝2。
9x＋y＋4z＝1。
解方程组的过程就是不断消元的过程，消元就是对变量前的系数进行计算，使某一元素的系数为0，那么这个元素就消去了。所以每次计算中我们不需要重复写X＼Y＼Z这些元素，约定好它们的位置，只对系数进行操作就可以了。于是我们可以把方程组写成以下形式，这样系数就可以放在一起。
仔细分析这个式子，要想和上面的方程组对应上，就是左边矩第一行乘以右边矩阵一列，这也是矩阵相乘的根本来源，矩阵相乘来源还原方程组的每个方程。
我们把只有系数的组合叫做矩阵，把含有系数和结果的数字组合叫做增广矩阵。矩就是矩形，阵就是阵列，就是数字按照矩形形状组成的阵列。
线性代数的行几何意义
我们先看例如方程组：这三个。
5x＋6y＋4z＝6。
3x＋6y＋8z＝2。
9x＋y＋4z＝1。
这三个方程分别表示三个平面，如果有一组解，表示这三个平面相交于一点，这点坐标值（x，y，z）就是这个解；最终系数矩阵化成这样的形式：上三角形。
如果有很多解，表示有两个平面重合或者三个平面重合，两个平面重合与三平面相交于一条直线，那么这条直线上的所有坐标都是解。
如果三个平面重合成一个平面，那么这个平面的坐标都是解。
如果三个平面两两相交，表示没有重合的部分，没有解，那么这个系数矩阵最终形式：化解不成三角形式。
这就是我们为什么会把举证化解成三角形式的目的：可以化解成三角形表示有单一解，消去一行或者多行，表示有多个解，对实际没有帮助，只有我们去值，可有意义。如果不能化解成三角形式，表示没有解，这几个条件方程相互矛盾，不能达成一致。
那么原线性方程组的系数矩阵对向量的各坐标伸缩，例如第一行系数是对向量这样操作的，5x＋6y＋4z：对原向量x方向延长5倍，对y方向延长6倍，对z方向延长4倍。
也是对向量的线性操作。
同理我们知道系数矩阵化解成有一行或者多行为0的时候，他们对应的坐标例如y或者z就不再有任何意义了，而坐标x，y，z表示的维度。所以这是我们后面提到的秩的意义，秩的意义就是几何维度。