要使用泰勒级数展开一个函数，可以按照以下步骤进行：
确定展开点：选择一个展开点，通常是函数的某个特定值。常见的选择是零点，即展开点为x = 0，这时候泰勒级数也被称为麦克劳林级数。
计算函数在展开点的各阶导数：计算函数在展开点的0阶到n阶导数，其中n是你希望展开的级数的阶数。
计算级数中的系数：将计算得到的导数代入泰勒级数的公式中，系数为函数在展开点的导数值除以相应阶数的阶乘。泰勒级数的公式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在展开点a处的值，f'(a)是一阶导数，f''(a)是二阶导数，以此类推。
将级数相加：将各项级数的系数乘以对应的幂次，并将它们相加，得到泰勒级数展开后的函数。
需要注意的是，泰勒级数只在展开点的某个范围内有效，并且对于某些函数可能需要更高阶的展开才能较好地逼近原函数。此外，泰勒级数的收敛性要根据具体函数和展开点来确定，不同的函数可能具有不同的收敛半径。
如果你想要展开特定函数的泰勒级数，可以使用数学软件或计算工具来自动计算级数的各项系数，或者查找已知的泰勒级数公式来进行计算。
泰勒级数展开一个函数可以帮助我们近似地表示函数的曲线。具体来说，通过使用泰勒级数，我们可以将一个函数表示为一系列幂函数的和，从而得到一个逼近原函数的级数形式。
泰勒级数展开的具体形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...
其中，f(x)是原函数，a是展开点，f(a)是函数在展开点a处的值，f'(a)是一阶导数，f''(a)是二阶导数，以此类推。
通过逐项相加，我们可以得到级数的结果，该结果是对原函数的逼近。
具体展示函数曲线的过程包括以下步骤：
选择一个展开点a，通常是函数中的一个特殊点，如零点或其他关键点。
计算展开点处的函数值和各阶导数的值。
使用泰勒级数展开公式，将函数展开为一系列幂函数的和，每一项都乘以对应的导数值和幂次。
将级数中的各项相加，得到一个逼近原函数的级数形式。
根据所得到的级数形式，可以通过绘制级数的前几项来近似表示原函数的曲线。
需要注意的是，级数的有效范围通常是展开点附近的某个范围内。而且，级数的逼近效果取决于所使用的级数阶数，更高阶的级数通常能更好地逼近原函数。
最终，通过绘制级数的前几项，我们可以在图表上看到逼近的曲线，该曲线越多地与原函数的曲线重合，表示级数的逼近效果越好。