请教 - 一道线性代数判断向量子空间的问题

Question

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判断F是否是R^3的子空间

请问如何求解此类问题，忘详细说明，谢谢！

Answer 1

把F中的式子化简一下得：F={(x,y,z)∈R^3,x+y=0}
F的一组基是β=(1 -1 0)
我先用定义证明：
R^3的一组标准正交基:α1=(1 0 0),α2=(0 1 0),α3=(0 0 1)
1）F中的任意非零向量可以表示为γ=kβ=kα1-kα2+0α3，即F中所有向量可由R^3的基线性表出。
2）在F中任意取两个向量γ1=k1β,γ2=k2β，k1，k2不都为零
则γ1+γ2=k1β+k2β=(k1+k2 -k1-k2 0)=(k1+k2)α1+(-k1-k2)α2+0α3，即F中任意两个向量的加法运算可以用R^3的基线性表出。
3）将kγ=k^2α1-k^2α2+0α3，即F中任意向量的数乘运算可以用R^3的基线性表出。

所以F是R^3的子空间。

不过也可以直观的看到，F的空间其实就是一条直线x+y=0
显然它是R^3的一个子空间。不过万一考试考到，还是要用上面的定义来证明。