计算定积分∫(上限1下限-0)ln(1+x)/(2-x)^2dx

Question

如题所述

Answer 1

上一个解答正因为积分过程没写积分上下限多以在对1/(x-2)积分时忽略了积分所得函数的定义域问题，正解如下
解：
原式=-∫[0,1]ln(1+x)/(2-x)^2d(2-x)
=∫[0,1]ln(1+x)d(1/(2-x))
=ln(1+x)/(2-x)|(0,1)-∫[0,1][1/(x-2)][1/(x+1)]dx
=ln2-(1/3)(-∫[0,1]1/(2-x)dx-∫[0,1]1/(x+1)dx)
=ln2+(1/3)ln[(2-x)(x+1)]|(0,1)
=ln2+(1/3)*0=ln2

Answer 2

利用分部积分法.
原式=ln(1+x)*[1/(2-x)]-∫[1/(1+x)]*[1/(2-x)]dx
=ln(1+x)*[1/(2-x)]-(1/3)*∫[1/(1+x)+1/(2-x)]dx
=ln(1+x)*1/(2-x)-1/3ln(1+x)+1/3ln(2-x)
这里我省了上限1,下限0,不过应该能看懂吧.
剩下的应该可以自己做了吧?

=ln2-1/3ln2-1/3ln2
=1/3ln2

Answer 3

只给个大概的说法好了：把1/(2-x)^2 扔到d里面去，然后分部积分。