椭圆a的平方分之X的平方+b的平方分之Y的平方=1(a>b>0)与直线X+Y=1交于P,Q两点,，且OP垂直于OQ，其中O

Question

其中O为坐标原点

（1）求a的平方分之1+b的平方分之1的值

（2）若椭圆的离心率e满足3分之根号3<=e<=2分之根号2，求椭圆长轴的取值范围

Answer 1

(1) 直线x+y=1 y=1-x代入
椭圆x²/a²+y²/b²=1 得 x²/a²+(1-x)²/b²=1
整理得(1/a²+1/b²)x²-2x/b+1/b²-1=0 ①
设：P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,x2 是①的两个根，x1*x2=(1/b²-1)/(1/a²+1/b²) ②
同理可得：y1*y2=(1/a²-1)/(1/a²+1/b²) ③
OP垂直于OQ：OP斜率*OQ斜率=-1 即：（y1-0)/(x1-0) (y2-0)/(x2-0)=-1
即x1*x2+y1*y2=0 将② ③代入得 (1/b²-1)/(1/a²+1/b²) +(1/a²-1)/(1/a²+1/b²) =0
所以 1/a²+1/b²=2
(2) ∵1/a²+1/b²=2 b²=a²-c² e=c/a
∴ a²=(2-e²)/2(1-e²)
∵√3/3≤e≤√2/2
∴1/3≤e²≤1/2
∴5/4≤a²≤3/2
∴√5/2≤a≤√6/2
所以长轴的取值范围为[√5, √6]

Answer 2

1.根据题意设点P为(x1,y2)，点Q为(x2,y2)
∵OP⊥OQ，且O为坐标原点
∴kOP × kOQ=-1
[(y1-0)/(x1-0)]×[(y2-0)/(x2-0)] = -1
即：y1y2 = -x1x2
∵点P,Q是椭圆与直线x+y=1的交点
∴(1-x1)(1-x2) = -x1x2 ， 即： 1 - (x1+x2) + 2x1x2=0.......①
将椭圆方程变形为：b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 与直线x+y=1联立，消去y，得：
(a^2 + b^2)x^2 - (2a^2)x + (a^2 - a^2b^2)=0
根据韦达定理：x1+x2=(2a^2)/(a^2 + b^2) ， x1x2=(a^2 - a^2b^2)/(a^2 + b^2)
将其带入①中，得：(a^2 + b^2 - 2a^2b^2)/(a^2 + b^2)=0
∴a^2 + b^2 - 2a^2b^2=0 ，得a^2 + b^2 = 2a^2b^2
则：1/a^2 + 1/b^2 = (b^2 + a^2)/(a^2b^2) = (2a^2b^2)/(a^2b^2) =2

2.在椭圆中有：c^2 = a^2 - b^2 ，则：b^2 = a^2 - c^2
∵由上题得：a^2 + b^2 = 2a^2b^2
∴a^2 + (a^2 - c^2) = (2a^2)(a^2 - c^2)
2a^2 - c^2 = (2a^2)(a^2 - c^2)
两边同除以a^2，得：2 - e^2 = (2a^2)(1 - e^2),
2a^2 = (2 - e^2)/(1 - e^2)
2a^2 = 1 + [1/(1 - e^2)]
∵椭圆的离心率e满足：√3/3 ≤ e ≤ √2/2
∴1/3 ≤ e^2 ≤ 1/2,
带入：3/2 ≤ [1/(1-e^2)] ≤ 2
则：5/2 ≤ 1 + [1/(1 - e^2)] ≤ 3 ，即：5/2 ≤ 2a^2 ≤ 3
∴椭圆长轴的取值范围：√5 ≤ 2a ≤ √6

Answer 3

(1)
椭圆：x²/a²+y²/b²=1 代入y=1-x 得： x²/a²+(1-x)²/b²=1
整理：(1/a²+1/b²)x²-2x/b+1/b²-1=0 ①
设：P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,x2 是①的两个根，x1*x2=(1/b²-1)/(1/a²+1/b²) ②
同理; x²/a²+y²/b²=1 代入x=1-y 可得：y1*y2=(1/a²-1)/(1/a²+1/b²) ③
OP垂直于OQ：op斜率*OQ斜率=-1 即：（y1-0)/(x1-0) (y2-0)/(x2-0)=-1
整理：x1*x2+y1*y2=0 将② ③代入得 (1/b²-1)/(1/a²+1/b²) +(1/a²-1)/(1/a²+1/b²) =0
1/b²-1+1/a²-1=0
1/a²+1/b²=2
(2)
1/a²+1/b²=2
1+a²/b²=2a²
a²/b²=2a²-1 ④
e=c/a
e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=1-b²/a² 代入④
e²=1-1/(2a² -1) ⑤
√3/3≤e≤√2/2
1/3≤e²≤1/2
1/3≤1-1/(2a² -1)≤1/2 代入⑤
1/2≤1/(2a² -1)≤2/3
3/2≤2a² -1≤2
5/4≤a²≤3/2
√5/2≤a≤√6/2
√5≤2a≤√6
√5≤椭圆长轴≤√6

参考资料：http://z.baidu.com/question/273552587.html

Answer 4

(1)直线x+y=1y=1-x代入
椭圆x²/a²+y²/b²=1得x²/a²+(1-x)²/b²=1
整理得(1/a²+1/b²)x²-2x/b+1/b²-1=0①
设：P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2是①的两个根，x1*x2=(1/b²-1)/(1/a²+1/b²)②
同理可得：y1*y2=(1/a²-1)/(1/a²+1/b²)③
OP垂直于OQ：OP斜率*OQ斜率=-1即：（y1-0)/(x1-0)(y2-0)/(x2-0)=-1
即x1*x2+y1*y2=0将②③代入得(1/b²-1)/(1/a²+1/b²)+(1/a²-1)/(1/a²+1/b²)=0
所以1/a²+1/b²=2
(2)∵1/a²+1/b²=2b²=a²-c²e=c/a
∴a²=(2-e²)/2(1-e²)
∵√3/3≤e≤√2/2
∴1/3≤e²≤1/2
∴5/4≤a²≤3/2
∴√5/2≤a≤√6/2
所以长轴的取值范围为[√5,√6]