几道有关复变函数的简单题

Question

1、证明：如果f（z）=u+iv在区域D内解析，且|f（z）|或arg f（z）为常数，那么f（z）是常数。
2、如果f（z）=u+iv为解析函数证明当f（z）的导数不等于0时，曲线族u（x，y）=C1和v（x，y）=C2必相互正交。
3、指出f（z）=1/（z*z-1）的解析区域并求其导数。

Answer 1

第1：

如果|f(z)|是常数，那么

又因为f解析，所以

代入第二个等式得到

得到关于u和v的线性方程组

相应的系数行列式为

根据克拉默法则，如果行列式不为0，那么u和v只有0解，此时f（z）是常数。

如果行列式为0，那么ux=0，vx=0，根据柯西黎曼条件得到uy=0，vy=0，所以f（z）也是常数。

如果arg f(z)是常数，那么

其中实函数R(x,y)非负。（因为表示f(z)的模）

那么

因为f（z）解析，所以

这是关于Rx和Ry的线性方程组，其中系数行列式为

所以Rx和Ry只有零解，所以R是常数，所以f(z)=Re^iθ是常数。证毕。

第2题：

因为f(z)解析，所以u和v可微，对u(x,y)=C1两边同时取微分得到

所以向量(ux,uy)是曲线u(x,y)=C1上点(x,y)处的法向量。

同理向量(vx,vy)是曲线v(x,y)=C1上点(x,y)处的法向量。

那么

其中箭头处利用了柯西-黎曼方程。因为法向量互相垂直，所以切向量也必定互相垂直，因此两曲线正交。（对任何C1和C2成立，所以两曲线族正交）

第3题：

奇点对应分母的零点：z=±1.所以解析区域是C\{1,-1}。

导数为