高等数学定积分问题求解？！

Question

如题所述

Answer 1

解：
f'(x)>0，f(x)单调递增
设f(x)的一个原函数为G(x)
F(x)=∫[0：1]|f(x)-f(t)|dt
=∫[0：x][f(x)-f(t)]dt +∫[x：1][f(t)-f(x)]dx
=[t·f(x)-G(t)]|[0：x]+[G(t)-t·f(x)]|[x：1]
=[xf(x)-G(x)]-[0·f(x)-G(0)]+[G(1)-1·f(x)]-[G(x)-x·f(x)]
=2xf(x)-2G(x)-f(x)+G(0)+G(1)
F'(x)=[2xf(x)-2G(x)-f(x)+G(0)+G(1)]'
=2f(x)+2xf'(x)-2f(x)-f'(x)
=(2x-1)f'(x)
令F'(x)≥0，得(2x-1)f'(x)≥0
f'(x)>0，因此只有2x-1≥0
x≥½
F(x)在[0，½]上单调递减，在[½，1]上单调递增
函数的极值点为x=½，此极值为最小。