例3，如图所示，三棱锥A-BCD中，各棱长都相等，E , F为棱AD , BC的中点，连接AF , CE ,

Question

求直线AF , CE所成的角的余弦值。

我的问题是：下面老师解法“∴OL=√3/12，”这步怎么来的？
“AO=√(1-1/3)=√6/3”怎么来的？
“ML=3/4*AO=√6/4”怎么来的？
“MH=√10/4，”怎么来的？
附：
我们老师的解法：取FC中点H，AE中点M，连接G H , GM，则∠HGM或其补角为异面直线AF与CE所成的角，设棱长为1，则GM=√3/4=GH，设O为底面正三角形BCD的垂心，则OD=√3/3，OF=√3/6，作ML⊥FD于L，连接HL，∴OL=√3/12，FL=FO+OL=√3/6+√3/12=√3/4，而FD=√3/2，∴L为FD中点，∴HL=1/2，
又AO=√(1-1/3)=√6/3，ML=3/4*AO=√6/4，∴MH=√10/4，
在△HGM中，由余弦定理得，cos∠HGM=…..=-2/3 ,∴所求异面直线所成的角的余弦值为2/3

Answer 1

AO=√(AD²-OD²)=√(1-1/3)=√6/3.

M为AD的四等分点（靠近A），ML=3AO/4=√6/4.

OF=DF/3，OD=2DF/3.  OL=DO/4=DF/6，FL=OF+OL=OF/2，故L为DF中点.

HL=CD/2=1/2，MH=√(HL²+ML²)=√10/4.

也可以按下面的方法做  ^_^

设G为DF中点，连接CG.

则EG为△ADF的中位线，EG=AF/2=√3/4，CE=√3/2.

CG=√(FG²+FC²)=√[(DF/2)²+(1/2)²]=√(3/16+1/4)=√7/4.

cos∠CEG=2/3.

追问

你好，非常感谢你这么细致地画图解答，我们老师解题中有几步我不懂，请帮忙分析，
“∴OL=√3/12，”这步怎么来的？
“AO=√(1-1/3)=√6/3”怎么来的？
“ML=3/4*AO=√6/4”怎么来的？
“MH=√10/4，”怎么来的？
请帮忙把这几步怎么来的讲解详细些，我不懂，非常感谢！

追答

我上面写的很清楚了，你仔细看看过程,

追问

你好，我仔细看了，“AO==√(AD²-OD²）=√(1-1/3)=√6/3”为什么AO⊥OD呀？你没有说呀；
ML=3AO/4=√6/4.”这个你怎么知道A,O,L,D,M都共面呢？ 并且你怎么证明△AOD∽△MLD呀？
为什么“ OL=DO/4=DF/6”？ MH=√(HL²+ML²)=√10/4.这步你也没说为什么ML⊥HL呀，这个为什么呢？ 非常期待你解答，谢谢

追答

1、AO是棱锥的高，O是底面的中心.

2、L在OD上，所以A、O、L、D共面.

3、ML//AO

4、M是四等分点

5、同3

你问半天问题根本没看过程，这是我看完你问题的感受，汗.

你看后一个方法吧.