求高中数学数列难题，加答案

Question

如题所述

Answer 1

如果由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的n∈N*均有bn+1＜bn，其中bn=an+1-an，则称数列{an}为“Z数列”．
（Ⅰ）在数列{an}中，已知an=-n2，试判断数列{an}是否为“Z数列”；
（Ⅱ）若数列{an}是“Z数列”，a1=0，bn=-n，求an；
（Ⅲ）若数列{an}是“Z数列”，设s，t，m∈N*，且s＜t，求证：at+m-as+m＜at-as．

解：（Ⅰ）因为an=-n2，
所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N*，（2分）
所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，
所以bn+1＜bn，数列{an}是“Z数列”．（4分）
（Ⅱ）因为bn=-n，
所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，an-an-1=bn-1=-（n-1），
所以an-a1=-1-2--(n-1)=-
(n-1)n2
（n≥2），（6分）
所以an=-
(n-1)n2
（n≥2），
又a1=0，所以an=-
(n-1)n2
（n∈N*）．（8分）
（Ⅲ）因为as+m-as=（as+m-as+m-1）++（as+1-as）=bs+m-1++bs，at+m-at=（at+m-at+m-1）++（at+1-at）=bt+m-1++bt，
（10分）
又s，t，m∈N*，且s＜t，所以s+i＜t+i，bs+i＞bt+i，n∈N*，
所以bs+m-1＞bt+m-1，bs+m-2＞bt+m-2，，bs＞bt，（12分）
所以at+m-at＜as+m-as，即at+m-as+m＜at-as．（14分）

设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为PP′，根据这一规律解答下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，…，100，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为
12
．
（1）求P1，P2，P3，并根据棋子跳到第n+1站的情况，试用Pn，Pn-1表示Pn+1；
（2）设an=Pn-Pn-1（1≤n≤100），求证：数列{an}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（3）求玩该游戏获胜的概率

解：（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为Pn，
则P1即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P1=12，
P2即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则P2=
12P0+
12P1=
34，
P3即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，则P3=
12P1+
12P2=
58
故Pn+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则Pn+1=
12Pn+
12Pn-1
（2）由（1）知：Pn+1=
12Pn+
12Pn-1，
∴Pn+1-Pn=-
12(Pn-Pn-1)，
∴{Pn-Pn-1}表示等比数列，其公比为-
12
又a1=P1-P0=-
12，
∴an=(-
12)n，1≤n≤100；
（3）玩该游戏获胜，即求P99
由（2）知，Pn-Pn-1=(-
12)n（2≤n≤100），
∴P2-P1=14，
P3-P2=-
18，…
Pn-Pn-1=(-
12)n（2≤n≤100），
∴Pn-P1=14-
18+…+(-
12)n
∴Pn-P1=14[1-(-
12)n-1]1-(-
12)
∴Pn=
23[1-
14×(-
12)n-1]
∴n=99时，P99=
23[1-(
12)100]．

Answer 2

=1/2,数列满足f（1）=n^2*an(n的平方乘an）,则数列an的通项an=？a1+a2+ +an=n^2*an a1+a2+ +A(n-1)=(n-1)^2*A(