高中数学数列特征根和不动点法解通项公式的原理是什么，说的简单点

Question

如题所述

Answer 1

数列 {a(n)}，设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为 x^2-px-q=0 .
若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同)
若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*A^n

以上部分内容的证明过程：

设 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。

然后进一步证明那个通项公式：

如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
两边同时除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]
整理一下，并设 a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再设 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那个 r 用 A 来代，就可以得到 a(n)=(c+nd)*A^n 了。
不动点法：

递推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）

其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)

特征方程的根称为该数列的不动点

这类递推式可转化为等差数列或等比数列

1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，则有：

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))

其中k=(A-α*C)/(A-β*C)

x=(A*x+B)/(C*x+D)

C*x^2+(D-A)*x-B=0

α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0

C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D

a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))

由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))

得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))

2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，则有

1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k

其中k=(2*C)/(A+D)

x=(A*x+B)/(C*x+D)

C*x^2+(D-A)*x-B=0

C*α^2+(D-A)*α-B=0

α=(A-D)/(2*C)

a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))

=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)

由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)

an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
注:并非本人总结，仅供参考。

Answer 2

这个真要解释清楚需要用到大学数学中线性代数和组合数学的知识，很麻烦，高中阶段你只要会用并能证明其正确性即可……

证明如下：

特徵方程法：

a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
其特征方程为x^2-p*x-q=0

i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β

则an=A*α^n+B*β^n

其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

ii.若其有两个相等的根α

则an=(A*n+B)*α^n

其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

最终可得：

当{an}有两个不等的特征根为根α,β时

由
a(n+2)-α*a(n+1)=β^(n-1)*(a2-α*a1)
a(n+2)-β*a(n+1)=α^(n-1)*(a2-β*a1)

得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)

或由
A*α+B*β=a1
A*α^2+B*β^2=a2

可得
A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)
B=(a2-β*a1)/(β^2-α*β)

得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)+((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)

当特征根为重根α时

由
an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α*a(n-1)-α^2*a(n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
…
α^(n-2)*a2-α^(n-1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)

an-α^(n-1)*a1=(n-1)*α^(n-2)*(a2-α*a1)

得
an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)

或由
(A+B)*α=a1
(2*A+B)*α^2=a2

可得
A=(a2-a1*α)/(α^2)
A=(2*a1*α-a2)/(α^2)

得
((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)

由于
α+β=A
α*β=-B

由韦达定理，可构造一元二次方程
x^2-p*x-q=0

此即为二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵方程

特殊的，当二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵根为重根α=1时
即p=2，q=-1

a(n+2)=2*a(n+1)-an

此时，二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=2*a(n+1)-an
为等差数列

不动点法：

递推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）

其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)

特征方程的根称为该数列的不动点

这类递推式可转化为等差数列或等比数列

1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，则有：

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))

其中k=(A-α*C)/(A-β*C)

x=(A*x+B)/(C*x+D)

C*x^2+(D-A)*x-B=0

α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0

C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D

a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))

由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))

得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))

2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，则有

1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k

其中k=(2*C)/(A+D)

x=(A*x+B)/(C*x+D)

C*x^2+(D-A)*x-B=0

C*α^2+(D-A)*α-B=0

α=(A-D)/(2*C)

a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))

=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)

由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)

an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α本回答被网友采纳

Answer 3

利用极限的思想当N无穷大是 AN+1近似与AN相等

Answer 4

很简单啊:..