高中数学数列特征根和不动点法解通项公式的原理是什么，说的简单点

Question

如题所述

Answer 1

高中数学数列特征根的原理是韦达定理：
对于形如a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)的式子，总是存在 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] ，化简得 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n) ，即s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是特征根。
不动点法解通项公式的原理是极限思想：
对于形如a(n+1)=Aan+B的式子，
当n很大时，an其实很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）构成不动点。于是原始转化为x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),
即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是数列an就是以A为公比的，是首项a1-B/(1-A)的数列，于是就可以求出通项公式了。
楼主，原创思想啊，望采纳！！

Answer 2

数列 {a(n)}，设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为 x^2-px-q=0 .
若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同)
若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*A^n

以上部分内容的证明过程：

设 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。

然后进一步证明那个通项公式：

如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
两边同时除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]
整理一下，并设 a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再设 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那个 r 用 A 来代，就可以得到 a(n)=(c+nd)*A^n 了。
不动点法：

递推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）

其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)

特征方程的根称为该数列的不动点

这类递推式可转化为等差数列或等比数列

1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，则有：

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))

其中k=(A-α*C)/(A-β*C)

x=(A*x+B)/(C*x+D)

C*x^2+(D-A)*x-B=0

α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0

C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D

a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))

由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))

得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))

2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，则有

1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k

其中k=(2*C)/(A+D)

x=(A*x+B)/(C*x+D)

C*x^2+(D-A)*x-B=0

C*α^2+(D-A)*α-B=0

α=(A-D)/(2*C)

a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))

=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)

由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)

an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
注:并非本人总结，仅供参考。

Answer 3

见1楼