为什么求二阶齐次线性递推方程时， (1)若特征方程有两相异根α,β，则a[n]=c1·α^n+c2·β^n；

Question

(2)若特征方程有两等根α=β，则a[n]=(c1+nc2)·α^n，(其中 c1,c2 可由初始条件确定)
(1)、(2)是如何推导的？
提前谢谢每一位解答者！！

Answer 1

设特征方程的两根为α, β ≠ 0 (两根可以相等).
由特征方程的定义和根与系数关系, 递推式公式可以表示为a[n+2] = (α+β)·a[n+1]-αβ·a[n].
于是a[n+2]-β·a[n+1] = α·(a[n+1]-β·a[n]), 即数列a[n+1]-β·a[n]是公比为α的等比数列.
可设a[n+1]-β·a[n] = d1·α^n, 同理可设a[n+1]-α·a[n] = d2·β^n.
(1) α ≠ β时两个式子是独立的, 相减即得a[n] = (d1·α^n-d2·β^n)/(α-β).
取c1 = d1/(α-β), c2 = -d2/(α-β)即可.
(2) α = β时只是一个等式a[n+1]-α·a[n] = d1·α^n, 两边除以α^(n+1).
得a[n+1]/α^(n+1)-a[n]/α^n = d1/α, 即数列a[n]/α^n是公差为d1/α的等差数列.
设a[n]/α^n = n·d1/α+c1, 取c2 = d1/α即得a[n] = (c1+c2·n)·α^n.