第1个回答 2012-05-15
方法一：利用特征方程（线性代数解法） 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 ∵F(1)=F(2)=1。 ∴C1*X1 + C2*X2。 C1*X1^2 + C2*X2^2。 解得C1=√5/5，C2=-√5/5。 ∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 设常数r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 则r+s=1， -rs=1。 n≥3时，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。 联立以上n-2个式子，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。 ∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。 上式可化简得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 （这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。 =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。 =(s^n - r^n)/(s-r）。 r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。 解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 得α+β=1。 αβ=-1。 构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 所以。 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 由式1，式2，可得。 an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。本回答被网友采纳