已知AD是三角形ABC的中线，向量AD=λAB+μAC（λ，μ∈R），求λ+μ的值

Question

若∠A=120°，向量AB*AC= - 2，求∣AD∣的最小值。
请写出具体步骤，谢谢！

Answer 1

因为是中线，所以做向量的时候有一个技巧，就是：延长AD到E，使ABCE是一个平行四边形。向量相加的原理就是平行四边形吧，那么2AD=AB+AC（都是向量）。把2除过来，λ=μ=1/2了。那么λ+μ=1。
设|AC|=X，则，根据AB·AC=|AB|*X*cos120°=-2，所以，|AB|=4/X。把关系式两边平方得
|AD|^2=(|AB|^2+2|AB||AC|cos120°+|AC|^2)/4=[16/(X^2)-4+X^2]/4=4/(X^2)+（X^2）/4-1≥2*[4/(X^2)*（X^2）/4]-1=2-1=1
当且仅当4/(X^2)=（X^2）/4，即X=2时，|AD|取最小值，为1

Answer 2

设|AC|=X。把2除过来，则;4]-1=2-1=1
当且仅当4/，即X=2时;4-1≥2*[4/4=4/，所以，λ=μ=1/：延长AD到E，就是，所以做向量的时候有一个技巧。那么λ+μ=1;(X^2)+（X^2）/4;X;4=[16/。把关系式两边平方得
|AD|^2=(|AB|^2+2|AB||AC|cos120°+|AC|^2)/因为是中线，那么2AD=AB+AC（都是向量）;(X^2)-4+X^2]/，使ABCE是一个平行四边形。向量相加的原理就是平行四边形吧，|AB|=4/(X^2)*（X^2）/2了，|AD|取最小值;(X^2)=（X^2）/，根据AB·AC=|AB|*X*cos120°=-2

Answer 3

三角形ABC中由三角形法则得向量AD=AB-DB,AD=AC-DC两式相加得2AD=AB+AC所以λ+μ的值为1本回答被提问者采纳