用向量证明：三角形两边中点的连线平行于第三变并且等于第三边的一半

Question

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Answer 1

证明如下：

三角形OAB中，EF分别是OA、AB中点，连接EF。

设向量OA为a，向量AB为b，则根据向量加法法则，

向量OB＝a＋b，

向量EF＝a／2＋b／2＝（a＋b）／2

所以EF＝1／2*OB，即向量EF‖向量OB，

且根据EF＝1／2*OB，两边取模，得／EF／＝1／2*／OB／

即向量EF的模等于向量OB的模的一半。

Answer 2

设A(x1,y1),B(x2,y2), C(x3,y3),E,F为AB，AC边上中点
则E((x1+x2)/2,(y1+y2)/2))F((x1+x3)/2,(y1+y3)/2))
向量EF=((x3-x2)/2,(y3-y2)/2))，向量BC=((x3-x2),(y3-y2))
显然，向量EF=1/2向量BC
根据向量a 与非零向量b 平行或共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得向量a =λ向量b
所以，三角形两边中点的连线平行于第三变并且等于第三边的一半

Answer 3

三角形ABC中，E、F分别为AB、AC边中点
向量BE=EA=BA/2 CF=FA=CA/2
以B为原点，BC为x轴建立直角坐标系
B(0,0),A(xa,ya),C(xc,0),E(xa/2,ya/2),F((xc+xa)/2,ya/2)
向量EF=(xc/2,0)
BC=(xc,0)
∴|EF|=|BC|/2 EF//BC