高中数学：已知递推关系求数列通项

Question

已知数列{an},a1=1,an+1=an+(2)(n≥1),求an.
已知数列{an}，a1=2,an+1=1/3an,求an。
已知：a1=1,an+1=an+2n,求an。

Answer 1

(1)
a1=1，a<n+1>=an+2
则，a<n+1>-an=2
所以，an是以a1=1为首项，公差d=2的等差数列
则，an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1

(2)
a1=2，a<n+1>=(1/3)an
则，a<n+1>/an=1/3
所以，an是以a1=2，公比q=1/3的等比数列
则，an=a1*q^(n-1)=2*(1/3)^(n-1)

(3)
a1=1，a<n+1>=an+2n
所以，a<n+1>-an=2n
则：
a1=1
a2-a1=2
a3-a2=4
……
an-a<n-1>=2(n-1)
上述等式左右分别相加得到：an=1+2+4+……+2(n-1)
=1+2[1+2+3+……+(n-1)]
=1+2*[(1+n-1)*(n-1)/2]
=1+n(n-1)
=n²-n+1追问

http://zhidao.baidu.com/question/2138173031999254228.html?quesup2&oldq=1
这页也答一下

追答

4、
a1=1
a=an+2^n
===> a-an=2^n
所以：
a1=1=2^0
a2-a1=2=2^1
a3-a2=2^2
……
an-a=2^(n-1)
上述等式左右分别相加得到：
an=1+2+4+……+2^(n-1)=1*[1-2^n]/(1-2)=(2^n)-1

5、
a1=1，an=a*2^n（n≥1）
所以：an/a=2^n

则：
a1=1
a2/a1=2^2
a3/a2=2^3
……
an/a=2^n
上述等式左右两边分别相乘得到：
an=1*2^2*2^3*……2^n=2^(2+3+……+n)=2^[(n+2)(n-1)/2]

Answer 2

因为an+1=an+2 所以{an}是等差数列 公差d=2 因为a1=1 所以an=1+2(n-1)=2n-1

因为a(n+1)=1/3(an) 所以{an}是等比数列 公比q=1/3 所以an=2*(1/3)^(n-1)

因为a(n+1)-an=2n 所以an-a(n-1)=2(n-1)=2n-2
所以递推得到a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)
.....
a3-a2=2*2=4
a2-a1=2*1=2
所以把上面所有式子累加得到an-a1=2(1+2+3+....+(n-1))=n(n-1)
因为a1=1
所以an=n(n-1)+1=n^2-n+1