任意三棱锥的内切球怎么求？

Question

没有 特殊的直角 或者 底面正 的 任意三棱锥

Answer 1

内切球就是与四面体的每个面都相切,过四面体的任意两个面做角平分面（就是面面夹角的的角平分线的所在的平面）.
设一底面,三个侧面,底面与任意两个侧面之间的角平分面之间必会有一条交线,这条线就是底面与棱的角平分线（两个侧面的相交棱）.依次作出三条侧棱与底面的角平分线,交于一点,即为内切球的球心.
学习 ： 空间解析几何 与 向量

平面：Ax+By+Cz+D=0
直线：x-a/l=y-b/m=z-c/n
或者参数方程：x=a+lt,y=b+mt,z=c+nt
设内切球球心为 O ，则 O 到三棱锥四个面中的任一个，距离为 R 。
由 O 为顶点，分别以三棱锥的四个面为底面，得到四个小三棱锥，则高均为 R ，底面面积总和为 S ，体积和为 V 。
V = V1 + V2 + V3 + V4
V = R*S1/3 + R*S2/3 + R*S3/3 + R*S4/3
V = R*S/3
R=3V/S

Answer 2

内切球就是与四面体的每个面都相切,过四面体的任意两个面做角平分面（就是面面夹角的的角平分线的所在的平面）.
设一底面,三个侧面,底面与任意两个侧面之间的角平分面之间必会有一条交线,这条线就是底面与棱的角平分线（两个侧面的相交棱）.依次作出三条侧棱与底面的角平分线,交于一点,即为内切球的球心.
（类比一下三角形找内切圆圆心的方法,还有球心都各个面的距离相等的特征）

Answer 3

设内切球球心为 O ，则 O 到三棱锥四个面中的任一个，距离为 R 。
由 O 为顶点，分别以三棱锥的四个面为底面，得到四个小三棱锥，则高均为 R ，底面面积总和为 S ，体积和为 V 。
V = V1 + V2 + V3 + V4
V = R*S1/3 + R*S2/3 + R*S3/3 + R*S4/3
V = R*S/3
R=3V/S

Answer 4

r=ah/[a+√(a²+4h²)]
底边直径为a,高为h,内切圆半径为r。得到半径代入球体公式V=4πr³/3就能得到体积了。追答

由椎体截面三角形总面积与三个三角形面积和相等推导出半径

追问

大错特错

追答

哈哈，审题不认真，看成圆锥了

Answer 5

底边直径为a,高为h,内切圆半径为r。得到半径代入球体公式V=4πr³/3就能得到体积了。追问

大错特错