n阶矩阵A和B具有相同的特征值,但这些特征值互不相等,那么A与B相似吗?

如题所述

推荐答案 2013-10-14

有相同的特征值不能保证相似。即有相同的特征多项式不能保证相似。

而你说的后者，连特征多项式相同都保证不了。追问

我的意思是 n阶矩阵A和B,有相同的特征值k1,k2,k3.........kn; 并且k1≠k2≠k3≠...≠kn,那么A与B相似吗？

追答

因为A的n个特征值互异（不同的特征值对象的特征向量线性无关）
所以有n个线性无关的特征向量
所以A可对角化, 且A相似于对角矩阵 diag(k1,k2.....kn)
又因为 n阶方阵B与A有相同的特征值
所以B也可对角化, 且B相似于对角矩阵 diag(k1,k2.....kn)
由相似的传递性知 A与B 相似

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