如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值

Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为______．

Answer 1

解：见下图，根据三角形两边之和>第三边，作DE⊥AB，分别交AB于F，交圆O于E；联结EC，交AB于P'，根据垂径定理，则有DF=FE，P’D=P'E；当P移动到P'时，P'C+P'E=P'C+P'D<PC+PE(三角形两边之和>第三边）；取得最小值。

因为圆O直径AB=2，∠CAB=30°，D是弧BC的中点，∠EAB=∠CAB/2=15°；∠CAE=45°

联结OC，OE，得∠COE=2∠CAE(圆心角=2倍同弧圆周角)=90°；且OC=OE(同圆半径)=1；

则CE=1/sin45°=√2；填空：√2。解毕。

Answer 2

解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为

BC

的中点，即

BD

=

BD′

，
∴∠BAD′=

1

2

∠CAB=15°．
∴∠CAD′=45°．
∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形．
∵OC=OD′=

1

2

AB=1，
∴CD′=

2

．
故答案为：

2

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