已知圆o中，弦ab垂直弦cd于e,若圆o半径为r,求证ac的平方+bd的平方=4r的平方

Question

如题所述

Answer 1

连接并延长AO交圆于F，连接CF、BF、BC、DF

易知BF⊥AB（直径所对的圆周角为直角），而CD⊥AB，则BF//CD，进而∠BFC=∠DCF（内错角）

因∠BFC=∠BDC（共弦圆周角），则∠DCF=∠BDC

又∠DBC=∠CFD（共弦圆周角），CD=CD（公共边），则⊿DBC≌⊿CFD，即有BD=CF

易知⊿ACF为RT⊿（直径所对的圆周角为直角），由勾股定理有AC^2+CF^2=AF^2，即有AC^2+BD^2=(2r)^2

 

Answer 2

如图，

ACE-BDE 相似，CE/BE = AE/DE, AE*BE = CE*DE

BG-CD平行，<BDC=<BDG,弧DG=BC, AGD-ACE相似

AE^2 = AB^2 + BE^2

DF^2 = DC^2 + CF^2

两边相加，8r^2 = (AE+BE)^2 + (DE+CE)^2 + BG^2 + CF^2

= AE^2 + CE^2 + DE^2 + BE^2 + 2AE*BE + 2CE*DE + BG^2 + CF^2

= AC^2 + BD^2 + 。。。